完全微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式は完全微分方程式であることを確かめて，これを解け

${\displaystyle \left(\frac{y}{x}+\log y\right)dx}$${\displaystyle +\left(\frac{x}{y}+\log x\right)dy}$${\displaystyle =0}$

■答

${\displaystyle y\log x+x\log y=c}$

■ヒント

完全微分方程式の解法

完全微分方程式${\displaystyle Pdx+Qdy=0}$の一般解は

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_a^{x}P\left(x,y\right)dx+}{\displaystyle {\int }_b^{y}Q\left(a,y\right)dy}=c}$  ･･････(1)

ここで${\displaystyle a}$と ${\displaystyle b}$は定数であり， ${\displaystyle c}$は任意定数である．

■解き方

${\displaystyle P=\frac{y}{x}+\log y}$, ${\displaystyle Q=\frac{x}{y}+\log x}$とすると

${\displaystyle P_y=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$, ${\displaystyle Q_x=\frac{1}{y}+\frac{1}{x}}$  ${\displaystyle \therefore P_y=Q_x}$

よってこの微分方程式は完全微分方程式である．

(1)の公式を利用する．${\displaystyle a=1}$,${\displaystyle b=1}$として

${\displaystyle \underset{1}{\overset{x}{{\displaystyle \int }}}\left(\frac{y}{x}+\log y\right)dx}$${\displaystyle +\underset{1}{\overset{y}{{\displaystyle \int }}}\left(\frac{1}{y}+\log 1\right)dy}$${\displaystyle =c}$  (${\displaystyle \log 1=0}$)

${\displaystyle {\left[y\log x+x\log y\right]}_1^x+{\left[\log y\right]}_1^y=c}$

${\displaystyle y\log x+x\log y-\log y+\log y=c}$

${\displaystyle y\log x+x\log y=c}$

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最終更新日： 2023年6月15日