変数分離形微分方程式に関する問題

■部分分数分解のやり方

まず(1)式の左辺を部分分数分解する．左辺を次のように変形する．

${\displaystyle \frac{1}{y\left(y+1\right)}=\frac{A}{y}+\frac{B}{y+1}}$  ･･････(2)

(2)式の右辺を通分すると

${\displaystyle \frac{A}{y}+\frac{B}{y+1}=\frac{A\left(y+1\right)+By}{y\left(y+1\right)}}$  

この式を整理すると

よって(2)式は

${\displaystyle \frac{1}{y\left(y+1\right)}=\frac{\left(A+B\right)y+A}{y\left(y+1\right)}}$  ･･････(3)

(3)の等式が成立するためには

${\displaystyle A+B=0}$  ，${\displaystyle A=1}$ でなければならない．以上より${\displaystyle B=-1}$ となり(2)式は

${\displaystyle \frac{1}{y\left(y+1\right)}=\frac{1}{y}-\frac{1}{y+1}}$  ･･････(4)

となる．

同様に(1)式の右辺を部分分数分解する．右辺を次のように変形する．

(5)式の右辺を通分すると

この式を整理すると

よって(5)式は

${\displaystyle \frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{\left(C+D\right)x+C-D}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}}$  ･･････(6)

(6)の等式が成立するためには

${\displaystyle \{\begin{array}{c}C+D=0\\ C-D=1\end{array}}$  

でなければならない．以上より

${\displaystyle C=\frac{1}{2}}$  ，${\displaystyle D=-\frac{1}{2}}$

となり(5)式は

${\displaystyle \frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}}$

${\displaystyle =\frac{\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{-\frac{1}{2}}{x+1}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)}$･･････(7)　

となる．

従って(4)，(7)式より(1)式は次のようになる

 

 

 

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分方程式>>変数分離形微分方程式に関する問題>>${\displaystyle y^{\prime }=\frac{x{y}^3+x{y}^2}{x^{3}y-xy}}$

最終更新日： 2023年6月18日