変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式を(　)内の初期条件で解け

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2xy}}$

(${\displaystyle x=1}$,${\displaystyle y=1}$ )

■答

${\displaystyle y=\sqrt{\log \left|x\right|+1}}$

■ヒント

変数分離形方程式の解法 その３ のように形式的な変形をする

${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$

両辺を積分して

${\displaystyle \int g(y)dy=\int f(x)dx+C}$

求めた微分方程式に初期条件（${\displaystyle x=1,y=1}$ ）を代入

■解き方

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2xy}}$

両辺に${\displaystyle dx}$ をかける

${\displaystyle 2ydy=\frac{1}{x}dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int 2ydy}={\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}+C}$

（ ただし${\displaystyle C}$ は任意定数）

${\displaystyle y^2=\log \left|x\right|+C}$  　　　　･･･(1)

この式に初期条件${\displaystyle \left(x=1,y=1\right)}$ を代入すると

${\displaystyle 1=0+C}$

${\displaystyle C=1}$

よって，(1)に代入すると

${\displaystyle y^2=\log \left|x\right|+1}$

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${\displaystyle y=\sqrt{\log \left|x\right|+1}}$

∵${\displaystyle y\left(1\right)=1>0}$

最終更新日： 2023年6月18日