変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式を(　)内の初期条件で解け

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=e^{2x}{e}^{3y}}$      （${\displaystyle x=0}$,${\displaystyle y=0}$）

■答

${\displaystyle y=-\frac{1}{3}\log \frac{1}{2}\left(5-3e^{2x}\right)}$

■ヒント

変数分離形方程式の解法 その３ のように形式的な変形をする

${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$

両辺を積分して

${\displaystyle \int g(y)dy=\int f(x)dx+C}$

求めた微分方程式に初期条件（${\displaystyle x=0}$,${\displaystyle y=0}$）を代入

■解き方

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=e^{2x}{e}^{3y}}$

両辺に${\displaystyle dx}$ をかける

${\displaystyle \frac{1}{e^{3y}}dy=e^{2x}dx}$

${\displaystyle e^{-3y}dy=e^{2x}dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int e^{-3y}dy}={\displaystyle \int e^{2x}dx}+C}$

${\displaystyle -\frac{1}{3}{e}^{-3y}=\frac{1}{2}{e}^{2x}+C}$

両辺に6をかけると

${\displaystyle -2e^{-3y}=3e^{2x}+6C}$      （ただし${\displaystyle C}$ は任意定数）

この式を整理して

${\displaystyle 3e^{2x}+2e^{-3y}=-6C}$ 　　　･･･(1)

この式に初期条件（${\displaystyle x=0}$,${\displaystyle y=0}$）を代入すると

${\displaystyle 3+2=-6C}$

${\displaystyle -6C=5}$

よって，(1)に代入すると

${\displaystyle 3e^{2x}+2e^{-3y}=5}$

${\displaystyle 2e^{-3y}=5-3e^{2x}}$

${\displaystyle e^{-3y}=\frac{1}{2}\left(5-3e^{2x}\right)}$

${\displaystyle -3y=\log \frac{1}{2}\left(5-3e^{2x}\right)}$

${\displaystyle y=-\frac{1}{3}\log \frac{1}{2}\left(5-3e^{2x}\right)}$

　

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最終更新日： 2023年6月18日