変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式を(　)内の初期条件で解け

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\sin x{cos}^{2}y}$      (${\displaystyle x=0}$,${\displaystyle y=\frac{\pi }{4}}$)

■答

${\displaystyle \tan y+\cos x=2}$

■ヒント

変数分離形方程式の解法 その３ のように形式的な変形をする

${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$

両辺を積分して

${\displaystyle \int g(y)dy=\int f(x)dx+C}$

求めた微分方程式に初期条件(${\displaystyle x=0}$,${\displaystyle y=\frac{\pi }{4}}$)を代入

■解き方

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\sin x{cos}^{2}y}$      (${\displaystyle x=0}$,${\displaystyle y=\frac{\pi }{4}}$)

両辺に${\displaystyle dx}$ をかける

${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}y}dy=\sin xdx}$

両辺を積分すると

⇒左辺の積分方法はこちら

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{{\cos }^{2}y}dy}={\displaystyle \int \sin xdx}+C}$

${\displaystyle \tan y=-\cos x+C}$ 　（${\displaystyle C}$は任意定数）

${\displaystyle \tan y+\cos x=C}$ 　　･･･(1)

この式に初期条件(${\displaystyle x=0}$,${\displaystyle y=\frac{\pi }{4}}$) を代入すると

${\displaystyle \tan \frac{\pi }{4}+\cos 0=C}$

${\displaystyle C=2}$

よって，(1)に代入すると

${\displaystyle \tan y+\cos x=2}$

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最終更新日： 2024年10月7日