媒介変数表示の問題

■問題

x ，yが次のような式で表される時，点P${\displaystyle \left(x,y\right)}$はどのような図形を描くか．

${\displaystyle x=3t-4}$，${\displaystyle y=3t^2-7}$

■答

${\displaystyle y=\frac{1}{3}{\left(x+4\right)}^2-7}$    で表される放物線（2次曲線）を描く

■ヒント

媒介変数の${\displaystyle t}$ を消去する．

■解説

${\displaystyle x=3t+4}$ より

${\displaystyle t=\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}}$

これを${\displaystyle y=3t^2-7}$ に代入する．

${\displaystyle y=3{\left(\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}\right)}^2-7}$

${\displaystyle =3\left(\frac{1}{9}{x}^2+\frac{8}{9}x+\frac{16}{9}\right)-7}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}{x}^2+\frac{8}{3}x+\frac{16}{3}-7}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}{x}^2+\frac{8}{3}x-\frac{5}{3}}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}\left(x^2+8x-5\right)}$

平方完成をする

${\displaystyle =\frac{1}{3}\left(x^2+8x+16-21\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}{\left(x+4\right)}^2-7}$

よて，頂点座標が${\displaystyle \left(-4,-7\right)}$ となる下に凸の放物線（2次曲線）を描く．

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2024年9月13日