微分の計算問題

■問題

${\displaystyle f\left(x\right)={log}_{2}x}$とする．${\displaystyle f^{\prime }\left(5\right)}$を微分係数の定義式を用いて求めよ．

微分係数の定義式： ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}}$

■答

${\displaystyle f^{\prime }\left(5\right)=\frac{1}{5\log 2}}$

■ヒント

${\displaystyle e}$ の定義を用いる．

■解説

${\displaystyle f^{\prime }\left(5\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(5+h\right)-f\left(5\right)}{h}}$${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{{log}_2\left(5+h\right)-{log}_{2}5}{h}}$ ${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\left\{{log}_2\left(5+h\right)-{log}_{2}5\right\}}$

対数の性質を用いると

${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}{log}_2\left(1+\frac{h}{5}\right)}$ ${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{5}·\frac{5}{h}{log}_2\left(1+\frac{h}{5}\right)}$

${\displaystyle \frac{h}{5}=t}$と置く． ${\displaystyle h\to 0}$ のとき ${\displaystyle t\to 0}$ よって

${\displaystyle =\underset{t\to 0}{lim}\frac{1}{5}·\frac{1}{t}{log}_2\left(1+t\right)}$

${\displaystyle e}$ の定義を用いると

${\displaystyle =\underset{t\to 0}{lim}\frac{1}{5}{log}_2{\left(1+t\right)}^{\frac{1}{t}}}$

${\displaystyle t}$ の変化が関係するところは，対数の真数部分だけである．よって

${\displaystyle =\frac{1}{5}{log}_2\left(\underset{t\to 0}{lim}{\left(1+t\right)}^{\frac{1}{t}}\right)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{5}{log}_{2}e}$

底の変換公式を用いて底を2から ${\displaystyle e}$に変換すると

${\displaystyle =\frac{1}{5}·\frac{loge}{log2}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{5}·\frac{1}{log2}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{5log2}}$

　

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最終更新日： 2023年10月9日