微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=x^x}$　 (${\displaystyle x>0}$ )

■答

${\displaystyle y^{\prime }=x^x\left(\log x+1\right)}$  

■ヒント

指数関数の底を${\displaystyle e}$ に変換してから指数関数の微分の公式より，微分する．

${\displaystyle {\left(a^x\right)}^{\prime }={\left(e^{\log a^x}\right)}^{\prime }=e^{x\log a}}$

の式を用いる．

そして，合成関数の微分の公式を利用して解く．

あるいは，対数微分法を用いる方法もある．

■解説

${\displaystyle y=x^x=e^{\log x^x}}$ ${\displaystyle =e^{x\log x}}$

指数関数の底の変換の仕方を参照

${\displaystyle u=x\log x}$ とおく.

${\displaystyle y=e^u}$

${\displaystyle \frac{dy}{du}=\frac{d}{du}{e}^u=e^u}$

${\displaystyle \frac{dx}{du}=\frac{d}{du}\left(x\log x\right)}$ ${\displaystyle =1\cdot \log x+x\cdot \frac{1}{x}}$ ${\displaystyle =\log x+1}$ 　関数の積の微分を参照

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}}$

${\displaystyle =e^u\left(\log x+1\right)}$

${\displaystyle =e^{x\log x}\left(\log x+1\right)}$

${\displaystyle =x^x\left(\log x+1\right)}$

（${\displaystyle \because e^{x\log x}=e^{\log x^x}=x^x}$ ）

●別解

対数微分法を用いる．

${\displaystyle y=x^x}$

の両辺の自然対数をとる．

${\displaystyle \log y=\log x^x}$

${\displaystyle \log y=x\log x}$

両辺を${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{d}{dx}\log y=\frac{d}{dx}x\log x}$

${\displaystyle \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=1\cdot \log x+x\cdot \frac{1}{x}}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=y\left(\log x+1\right)}$${\displaystyle =x^x\left(\log x+1\right)}$

【備考】

${\displaystyle z=\log y}$

とおく．

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\log y\right)=\frac{dz}{dx}}$${\displaystyle =\frac{dz}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =\frac{1}{y}\cdot \frac{dy}{dx}}$

${\displaystyle z}$ を

${\displaystyle z=\log y}$，${\displaystyle y=x^x}$

の合成関数と考えている．

　

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最終更新日： 2024年7月18日