微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y={\cos }^{-1}\frac{2}{x}}$

■答

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{2}{x^2\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}}$

■ヒント

${\displaystyle {\cos }^{-1}x}$の微分と合成関数の微分の公式を利用して解く．

■解説

${\displaystyle u=\frac{2}{x}}$とおくと ${\displaystyle y={\cos }^{-1}u}$

${\displaystyle \frac{dy}{du}=-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}}$

${\displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\frac{2}{x}}$${\displaystyle =\frac{d}{dx}2x^{-1}}$ ${\displaystyle =2\left(-x^{-2}\right)}$ ${\displaystyle =-\frac{2}{x^2}}$

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}·\left(-\frac{2}{x^2}\right)}$

${\displaystyle =-\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{2}{x}\right)}^2}}·\left(-\frac{2}{x^2}\right)}$

${\displaystyle =\frac{2}{x^2\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}}$

●別解

逆関数の微分の公式 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}}$を用いる．

${\displaystyle y={\cos }^{-1}\frac{2}{x}}$ 　･･････(1)

(1)を${\displaystyle \cos }$ を使って表すと

${\displaystyle \cos y=\frac{2}{x}}$ 　ここを参照 　 ･･････(2)

となる．(2)を $x$ について解く．

${\displaystyle x=\frac{2}{\cos y}}$ 　･･････(3)

となる．(3)を $x$ に関して微分する．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=2\left(-\frac{-\sin y}{{\cos }^{2}y}\right)}$ 　商の微分， ${\displaystyle \cos }$ の微分を参照

${\displaystyle =\frac{2\sin y}{{\cos }^{2}y}}$

${\displaystyle =\frac{2\sqrt{1-{\cos }^{2}y}}{{\cos }^{2}y}}$　･･････(4)

逆関数の微分の公式を適用する．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}}$　･･････(5)

(5)を(4)に代入する．

${\displaystyle =\frac{1}{\frac{2\sqrt{1-{\cos }^{2}y}}{{\cos }^{2}y}}}$

${\displaystyle =\frac{{\cos }^{2}y}{2\sqrt{1-{\cos }^{2}y}}}$ 　･･････(6)

(6)に(2)代入する．

${\displaystyle =\frac{{\left(\frac{2}{x}\right)}^2}{2\sqrt{1-{\left(\frac{2}{x}\right)}^2}}}$

${\displaystyle =\frac{2}{x^2\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}}$

　

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最終更新日： 2024年10月30日