微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y={\tan }^{-1}\frac{13}{x}}$

■答

${\displaystyle y^{\prime }=-\frac{13}{x^2+169}}$

■ヒント

${\displaystyle {\tan }^{-1}x}$の微分と合成関数の微分の公式を利用して解く．

■解説

${\displaystyle u=\frac{13}{x}}$とおくと ${\displaystyle y={\tan }^{-1}u}$

${\displaystyle \frac{dy}{du}=\frac{1}{1+u^2}}$

${\displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\frac{13}{x}}$${\displaystyle =\frac{d}{dx}13x^{-1}}$ ${\displaystyle =13\left(-x^{-2}\right)}$ ${\displaystyle =-\frac{13}{x^2}}$

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{1+u^2}·\left(-\frac{13}{x^2}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{1+{\left(\frac{13}{x}\right)}^2}·\left(-\frac{13}{x^2}\right)}$

${\displaystyle =-\frac{13}{x^2\left(1+\frac{169}{x^2}\right)}}$

${\displaystyle =-\frac{13}{x^2+169}}$

●別解

逆関数の微分の公式 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}}$を用いる．

${\displaystyle y={\tan }^{-1}\frac{13}{x}}$　･･････(1)

(1)を${\displaystyle \tan }$ を使って表すと

${\displaystyle \frac{13}{x}=\tan y}$　ここを参照 　 ･･････(2)

となる．(2)を $x$ について解く．

${\displaystyle x=\frac{13}{\tan y}}$　･･････(3)

となる．(3)を $x$ に関して微分する．

${\displaystyle \frac{dx}{dy}=13\cdot \left\{-\frac{\frac{1}{{\left(\cos x\right)}^2}}{{\left(\tan y\right)}^2}\right\}}$ 　商の微分， ${\displaystyle \tan }$ の微分を参照

${\displaystyle =13\cdot \left\{-\frac{1+{\left(\tan y\right)}^2}{{\left(\tan y\right)}^2}\right\}}$

${\displaystyle =-\frac{13\left\{1+{\left(\tan y\right)}^2\right\}}{{\left(\tan y\right)}^2}}$　･･････(4)

逆関数の微分の公式を適用する．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}}$　･･････(5)

(5)を(4)に代入する．

${\displaystyle =\frac{1}{-\frac{13\left\{1+{\left(\tan y\right)}^2\right\}}{{\left(\tan y\right)}^2}}}$

${\displaystyle =-\frac{{\left(\tan y\right)}^2}{13\left\{1+{\left(\tan y\right)}^2\right\}}}$　･･････(6)

(6)に(2)代入する．

${\displaystyle =\frac{{\left(\frac{13}{x}\right)}^2}{13\left\{1+{\left(\frac{13}{x}\right)}^2\right\}}}$

${\displaystyle =\frac{13}{x^2\left(1+\frac{169}{x^2}\right)}}$

${\displaystyle =\frac{13}{x^2+169}}$

　

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最終更新日： 2024年7月15日