微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=\log \left(\tan \frac{x}{2}\right)}$

■答

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{\sin x}}$

■ヒント

${\displaystyle \log x}$の微分と ${\displaystyle \tan x}$の微分の公式を利用して解く．

■解説

${\displaystyle u=\tan \frac{x}{2}}$とおくと ${\displaystyle y=\log u}$

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{u}·\frac{1}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}·\frac{1}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}}$

ここで ${\displaystyle \tan \frac{x}{2}=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}$を代入する

${\displaystyle =\frac{1}{\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}·\frac{1}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}}$

${\displaystyle =\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}·\frac{1}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}}$

ここで 2倍角の公式を使う

${\displaystyle =\frac{1}{\sin x}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年10月9日