基本的な関数の微分 $\frac{1}{\sqrt{x}}$

■問題

次の関数の導関数を微分の公式および導関数の定義式を用いて求めよ．

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

■解説動画

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■答

$f^{'} (x) = - \frac{1}{2 x \sqrt{x}}$

■解説

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{- \frac{1}{2}}$

と表すことができる．

●公式を用いた計算

微分の公式を用いると

$f^{'} (x) = - \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2} - 1}$

$= - \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{3}{2}}$

$= - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x \sqrt{x}}$

$= - \frac{1}{2 x \sqrt{x}}$

となる．

●導関数の定義を用いた計算

導関数の定義式を利用すると

$f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$

$= lim_{Δ x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{x + Δ x}} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{Δ x}$

分子を通分する．

$= lim_{Δ x \to 0} \frac{1}{Δ x} \cdot \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x + Δ x}}{\sqrt{x} \sqrt{x + Δ x}}$

分母，分子に $\sqrt{x} + \sqrt{x + Δ x}$ を掛けて分子の有理化をする．

$= lim_{Δ x \to 0} \frac{1}{Δ x}$ $\cdot \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + Δ x}) (\sqrt{x} + \sqrt{x + Δ x})}{\sqrt{x} \sqrt{x + Δ x} (\sqrt{x} + \sqrt{x + Δ x})}$

$= lim_{Δ x \to 0} \frac{1}{Δ x}$ $\cdot \frac{x - (x + Δ x)}{\sqrt{x} \sqrt{x + Δ x} (\sqrt{x} + \sqrt{x + Δ x})}$

$= lim_{Δ x \to 0} \frac{1}{Δ x}$ $\cdot \frac{- Δ x}{\sqrt{x} \sqrt{x + Δ x} (\sqrt{x} + \sqrt{x + Δ x})}$

$= lim_{Δ x \to 0} \frac{- 1}{\sqrt{x} \sqrt{x + Δ x} (\sqrt{x} + \sqrt{x + Δ x})}$