増減表を用いた最大値問題

■問題

3辺の長さの和が ${\displaystyle a}$ である直角三角形について，その面積の最大値を求めよ．また，そのときの三角形がどのような三角形であるか述べよ．

■答

面積の最大値は ${\displaystyle \frac{3-2\sqrt{2}}{4}{a}^2}$，そのときの三角形は直角二等辺三角形である．

■ヒント

斜辺以外の２辺の長さを $x$ ， $y$ とおくと

${\displaystyle a=x+y+\sqrt{x^2+y^2}}$   ･･････(1)

三角形の面積 $S$ は

${\displaystyle S=\frac{1}{2}xy}$   ･･････(2)

となる．

(1)と(2)を利用して増減表を作成する．

■解説

(1)を $y$ に関して解く．

${\displaystyle a-\left(x+y\right)=\sqrt{x^2+y^2}}$

両辺を2乗する

${\displaystyle {\left\{a-\left(x+y\right)\right\}}^2={\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)}^2}$

${\displaystyle a^2-2\left(x+y\right)a+{\left(x+y\right)}^2}$ ${\displaystyle =x^2+y^2}$

${\displaystyle a^2-2xa-2ya+x^2+2xy+y^2}$ ${\displaystyle =x^2+y^2}$

${\displaystyle a^2-2xa-2ya+2xy=0}$

${\displaystyle 2\left(x-a\right)y=2xa-a^2}$

${\displaystyle y=\frac{2xa-a^2}{2\left(x-a\right)}}$

${\displaystyle =\frac{2a\left(x-a\right)+a^2}{2\left(x-a\right)}}$

${\displaystyle =a+\frac{a^2}{2\left(x-a\right)}}$   ･･････(3)

(3)を(2)に代入する．

${\displaystyle S=\frac{1}{2}x\left\{a+\frac{a^2}{2\left(x-a\right)}\right\}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}ax+\frac{a^{2}x}{4\left(x-a\right)}}$

${\displaystyle S^{\prime }=0}$ となる $x$ を求める．

${\displaystyle S^{\prime }=\frac{1}{2}a+\frac{a^2}{4}\cdot \frac{x-a-x}{{\left(x-a\right)}^2}}$  (第2項の微分には商の微分の公式を用いる)

${\displaystyle =\frac{1}{2}a-\frac{a^3}{4{\left(x-a\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}a\left\{2-\frac{a^2}{{\left(x-a\right)}^2}\right\}}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}a\cdot \frac{2{\left(x-a\right)}^2-a^2}{{\left(x-a\right)}^2}}$

よって

${\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}\pm 1}{\sqrt{2}}a}$${\displaystyle =\frac{2\pm \sqrt{2}}{2}a}$

となるが，三角形の1辺は他の2辺の和より小さいので，${\displaystyle x<a-x}$ ，すなわち，${\displaystyle 0<x<\frac{1}{2}a}$ より

${\displaystyle x=\frac{2-\sqrt{2}}{2}a}$ のとき，${\displaystyle S^{\prime }=0}$

となる．

${\displaystyle x=\frac{2-\sqrt{2}}{2}a}$ のとき

${\displaystyle y=a+\frac{a^2}{2\left(\frac{2-\sqrt{2}}{2}a-a\right)}}$${\displaystyle =a+\frac{a^2}{-\sqrt{2}a}}$${\displaystyle =\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)a}$${\displaystyle =\frac{2-\sqrt{2}}{2}a}$

${\displaystyle S=\frac{1}{2}{\left(\frac{2-\sqrt{2}}{2}a\right)}^2}$${\displaystyle =\frac{{\left(2-\sqrt{2}\right)}^2}{8}{a}^2}$${\displaystyle =\frac{6-4\sqrt{2}}{8}{a}^2}$ ${\displaystyle =\frac{3-2\sqrt{2}}{4}{a}^2}$

以上より，増減表を作成する．

増減表より

面積の最大値は，${\displaystyle x=\frac{2-\sqrt{2}}{2}a}$ のとき ， ${\displaystyle \frac{3-2\sqrt{2}}{4}{a}^2}$

となる．このとき，${\displaystyle x=y}$ であるので，三角形は直角二等辺三角形である．

●備考

(1)は$x$ ，$y$についての対称式であるので，面積が最大になるのは， ${\displaystyle x=y}$ であると予測できる．

　

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最終更新日： 2026年10月7日