立方体の影の作図問題 解答(4)

立方体の影の作図問題 解答(4)

■問題(4)

図のような一辺の長さが 1 mの立方体がある.頂点 A を原点に,対角線 AG z 軸と重なり,平面 ACGE yz 平面と一致し,頂点 C の座標の y 成分が正になるように,すなわち北側になるように,頂点 E の座標の y 成分が負になるように,すなわち南側になるように立方体を地表面に設置した(下図を参照せよ).立方体の影をグラフ用紙に作図せよ.グラフ用紙には東西南北の方角を明記する.また, 1 mの長さが 5 cmになるように作図する.作図に必要な計算を記入しておくこと.

立方体

 

■答

■解き方

地面に配置した立方体は下図のように xy 平面上に置いた立方体を z 軸の周りに 45° 回転させた後, x 軸の周りに EAC 回転させたものである.

z 軸に EAC 回転させる1次変換の表現行列を Rz とすると

Rz=( cos45° sin45° 0 sin45° cos45° 0 0 0 1 )=( 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 0 0 1 )

となる.

EAG=θ とする. x 軸の周りに θ 回転させる1次変換の表現行列を Rx とすると

Rx=( 1 0 0 0 cosθ sinθ 0 sinθ cosθ )

sinθ= 2 3 cosθ= 1 3

よって

Rx=( 1 0 0 0 1 3 2 3 0 2 3 1 3 )

となる.

したがって z 軸の周りに 45° 回転させた後, x 軸の周りに θ 回転させる1次変換の表現行列は RxRz となる.

RxRz=( 1 0 0 0 1 3 2 3 0 2 3 1 3 )( 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 0 0 1 )=( 1 2 1 2 0 1 6 1 6 2 3 1 3 1 3 1 3 )

1次変換する前の各頂点の座標は

A( 0,0,0, )     E( 0,0,1 )

B( 1,0,0 )     F( 1,0,1 )

C( 1,1,0 )     G( 1,1,1 )

D( 0,1,0 )     H( 0,1,1 )

である.よって1次変換後(問題文の図4,図5の状態)の各頂点の座標は

( 1 2 1 2 0 1 6 1 6 2 3 1 3 1 3 1 3 )( 0 0 0 )=( 0 0 0 )       A( 0,0,0 )

( 1 2 1 2 0 1 6 1 6 2 3 1 3 1 3 1 3 )( 1 0 0 )=( 1 2 1 6 1 3 )       B( 1 2 , 1 6 , 1 3 )

( 1 2 1 2 0 1 6 1 6 2 3 1 3 1 3 1 3 )( 1 1 0 )=( 0 2 6 2 3 )=( 0 2 3 2 3 )       C( 0, 2 3 , 2 3 )

( 1 2 1 2 0 1 6 1 6 2 3 1 3 1 3 1 3 )( 0 1 0 )=( 1 2 1 6 1 3 )       D( 1 2 , 1 6 , 1 3 )

( 1 2 1 2 0 1 6 1 6 2 3 1 3 1 3 1 3 )( 0 0 1 )=( 0 2 3 1 3 )       E( 0, 2 3 , 1 3 )

( 1 2 1 2 0 1 6 1 6 2 3 1 3 1 3 1 3 )( 1 0 1 )=( 1 2 1 6 2 3 )       F( 1 2 , 1 6 , 2 3 )

( 1 2 1 2 0 1 6 1 6 2 3 1 3 1 3 1 3 )( 1 1 1 )=( 0 0 3 )       G( 0,0, 3 )

( 1 2 1 2 0 1 6 1 6 2 3 1 3 1 3 1 3 )( 0 1 1 )=( 1 2 1 6 2 3 )       H( 1 2 , 1 6 , 2 3 )

となる.

次に各頂点の影の位置を(3)で求めた表現行列を使って計算する.点 A の影を点 A と表すことにする.

( 1 1 6 0 1 1 6 0 0 0 )( 0 0 0 )=( 0 0 0 )       A ( 0,0,0 )

( 1 1 6 0 1 1 6 0 0 0 )( 1 2 1 6 1 3 )=( 1 2 1 3 2 1 6 + 1 3 2 0 )=( 2 3 3 +2 3 2 0 )       B ( 2 3 , 6 + 2 6 ,0 )

( 1 1 6 0 1 1 6 0 0 0 )( 0 2 3 2 3 )=( 2 3 6 + 2 3 0 )       C ( 3 , 6 + 2 3 ,0 )

( 1 1 6 0 1 1 6 0 0 0 )( 1 2 1 6 1 3 )=( 2 2 3 3 +1 3 2 0 )       D ( 2 2 3 , 6 + 2 6 ,0 )

( 1 1 6 0 1 1 6 0 0 0 )( 0 2 3 1 3 )=( 1 3 2 2 3 +1 3 2 0 )       E ( 2 6 , 2 6 + 2 6 ,0 )

( 1 0 1 6 0 1 1 6 0 0 0 )( 1 2 1 6 2 3 )=( 1 3 2 3 +2 3 2 0 )       F ( 2 6 , 6 +2 2 6 ,0 )

( 1 1 6 0 1 1 6 0 0 0 )( 0 0 3 )=( 1 2 1 2 0 )       G ( 2 2 , 2 2 ,0 )

( 1 0 1 6 0 1 1 6 0 0 0 )( 1 2 1 6 2 3 )=( 5 3 2 3 +2 3 2 0 )       H ( 5 2 6 , 6 +2 2 6 ,0 )

以上求めたデータを用いて影を描くと下図のようになる.

 

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作成:学生スタッフ

最終更新日: 2023年2月10日