基本的な行列の問題

■問題

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ -2& 1\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}2& y\\ -1& x\end{array}\right)}$で，${\displaystyle \left|B\right|=2}$ ，${\displaystyle \left|AB\right|=4}$ である．${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle y}$ を求めよ．

■答

${\displaystyle x=\frac{2}{3}}$，${\displaystyle y=\frac{2}{3}}$

■計算

${\displaystyle \left|A\right|\left|B\right|=\left|AB\right|}$ より(定理)

${\displaystyle \left|A\right|=2}$ 　･･････(1)

そして，${\displaystyle \left|A\right|}$ の行列式を計算すると

${\displaystyle \left|A\right|=x+2y=2}$　･･････(2)

${\displaystyle \left|B\right|}$ も同様に計算することで

${\displaystyle \left|B\right|=2x+y=2}$　･･････(3)

(2)，(3)より以下の連立方程式が成り立つ．

${\displaystyle \{\begin{array}{c}x+2y=2\\ 2x+y=2\end{array}}$

(2)×2-(3)より

${\displaystyle 3y}$${\displaystyle =2}$

${\displaystyle y}$${\displaystyle =\frac{2}{3}}$　･･････(4)

(4)を(3)に代入する．

${\displaystyle 2x+\frac{2}{3}}$${\displaystyle =2}$

${\displaystyle 2x}$${\displaystyle =\frac{4}{3}}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle =\frac{2}{3}}$

よって

${\displaystyle x=\frac{2}{3}}$，${\displaystyle y=\frac{2}{3}}$

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年10月10日