基本的な行列の問題

■問題

次のベクトルの組が1次従属となるような${\displaystyle t}$ の値(整数)を求めよ．

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -1\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 1\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ t\end{array}\right)\in R^3}$

 

■計算

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}t& 1& 1\\ 1& t& -1\\ -1& 1& t\end{array}\right|\ne 0}$

のとき(定理)は1次独立となってしまうので，1次従属となるときは

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}t& 1& 1\\ 1& t& -1\\ -1& 1& t\end{array}\right|=0}$

(定理)である．

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}t& 1& 1\\ 1& t& -1\\ -1& 1& t\end{array}\right|}$${\displaystyle =-\left|\begin{array}{ccc}1& t& -1\\ t& 1& 1\\ -1& 1& t\end{array}\right|}$

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{ccc}1& t& -1\\ 0& -t^2+1& t+1\\ 0& t+1& t-1\end{array}\right|}$

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{cc}-t^2+1& t+1\\ t+1& t-1\end{array}\right|}$

${\displaystyle =-\left\{\left(-t^2+1\right)\left(t-1\right)-{\left(t+1\right)}^2\right\}}$

${\displaystyle =-\left\{\left(-t^3+t^2+t-1\right)-\left(t^2+2t+1\right)\right\}}$

${\displaystyle =-\left(-t^3-t-2\right)}$

${\displaystyle =t^3+t+2}$

${\displaystyle =\left(t+1\right)\left(t^2-t+2\right)}$

${\displaystyle =0}$

になればよい．

しかし，${\displaystyle t}$は整数であることより，${\displaystyle t}$ ${\displaystyle =-1}$が解となる．

よって，${\displaystyle t=-1}$ のときに1次従属となる．

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年9月6日