基本的な行列の問題

■問題

次のベクトルの組は1次独立か，1次従属かを調べよ．

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)}$， ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)}$, ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)\in R^3}$

 

■計算

${\displaystyle c_1\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)+c_3\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)=0}$　･･････(1)

とおくと．

${\displaystyle \{\begin{array}{c}{c}_1+c{}_2+3c_3=0\\ c_1+2c{}_2+2c_3=0\\ c_1+3c{}_2+c_3=0\end{array}}$

となる連立方程式が得られる．これを行列で表すと

${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 1& 2& 2\\ 1& 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)}$

となる．

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 1& 2& 2\\ 1& 3& 1\end{array}\right|}$${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 0& 1& -1\\ 0& 2& -2\end{array}\right|}$${\displaystyle =\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& -2\end{array}\right|}$${\displaystyle =0}$

であるから，この定理より，ベクトルの組

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)}$， ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)}$, ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)\in R^3}$

は1次従属である．

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年10月11日