基本的な行列の問題

■問題

次のベクトルの組は1次独立か，1次従属かを調べよ．

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 3\end{array}\right)}$，${\displaystyle \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 3\end{array}\right)}$， ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 1\end{array}\right)\in R^3}$

■計算

${\displaystyle c_1\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 3\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 3\end{array}\right)+c_3\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 1\end{array}\right)=0}$とおくと，

${\displaystyle \left\{\begin{array}{c}{c}_1+{3c}_2+3c_3=0\\ {3c}_1+c_2+3c_3=0\\ {3c}_1+3c_2+c_3=0\end{array}\right.}$

となる．これを行列を用いて表すと

${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 3\\ 3& 1& 3\\ 3& 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)}$

となる．

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}1& 3& 3\\ 3& 1& 3\\ 3& 3& 1\end{array}\right|}$${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 3\\ 0& -8& -6\\ 0& -6& -8\end{array}\right|}$${\displaystyle =\left|\begin{array}{cc}-8& -6\\ -6& -8\end{array}\right|}$${\displaystyle =64-36}$${\displaystyle =28}$${\displaystyle \ne 0}$

となる．よって，この定理より，ベクトルの組

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 3\end{array}\right)}$，${\displaystyle \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 3\end{array}\right)}$， ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 1\end{array}\right)\in R^3}$

は1次独立である．

 

ホーム>>カテゴリー分類>>行列>>線形代数>>線形代数に関する問題>>行列式に関する問題>>問題

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年10月11日