基本的な行列の問題

■問題

次のベクトルの組が1次従属となるような ${\displaystyle t}$ の値(整数)を求めよ．

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ t\\ 0\end{array}\right)}$,${\displaystyle \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\\ t\end{array}\right)}$,${\displaystyle \left(\begin{array}{c}t\\ 0\\ 1\\ 2\end{array}\right)}$,${\displaystyle \left(\begin{array}{c}2\\ t\\ 0\\ 1\end{array}\right)\in R^4}$

■計算

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}1& 0& t& 2\\ 2& 1& 0& t\\ t& 2& 1& 0\\ 0& t& 2& 1\end{array}\right|\ne 0}$の時(定理)は1次独立となってしまうので，1次従属となるときは ${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}1& 0& t& 2\\ 2& 1& 0& t\\ t& 2& 1& 0\\ 0& t& 2& 1\end{array}\right|=0}$ (定理)である．

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}1& 0& t& 2\\ 2& 1& 0& t\\ t& 2& 1& 0\\ 0& t& 2& 1\end{array}\right|}$${\displaystyle =\left|\begin{array}{cccc}1& 0& t& 2\\ 0& 1& -2t& t-4\\ 0& 2& 1-t^2& -2t\\ 0& t& 2& 1\end{array}\right|}$

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}1& -2t& t-4\\ 2& 1-t^2& -2t\\ t& 2& 1\end{array}\right|}$

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}1& -2t& t-4\\ 0& -t^2+4t+1& -4t+8\\ 0& 2t^2+2& {-t}^2+4t+1\end{array}\right|}$

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cc}-t^2+4t+1& -4t+8\\ 2t^2+2& -t^2+4t+1\end{array}\right|}$

${\displaystyle ={\left(-t^2+4t+1\right)}^2-}$${\displaystyle \left(-4t+8\right)\left(2t^2+2\right)}$

${\displaystyle =t^4-4t^3-t^2-4t^3+16t^2}$${\displaystyle +4t-t^2+}$${\displaystyle 4t+1}$${\displaystyle +8t^3-16t^2+8t-16}$

${\displaystyle =t^4-2t^2+16t-15}$

${\displaystyle =\left(t-1\right)\left(t+3\right)\left(t^2-2t+5\right)}$

${\displaystyle =0}$

になればよい．

しかし，この問題では整数を求めたいので，${\displaystyle t=1,-3}$ が解となる．

よって，${\displaystyle t=1,-3}$ の時に1次従属となる．

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年9月6日