偏微分を含む証明

■問題

次のことを証明せよ．

$z = log \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ならば ${(\frac{\partial z}{\partial x})}^{2} + {(\frac{\partial z}{\partial y})}^{2} = \frac{1}{e^{2 z}}$ である．

■ヒント

${(\frac{\partial z}{\partial x})}^{2} + {(\frac{\partial z}{\partial y})}^{2} = \frac{1}{e^{2 z}}$ の右辺と左辺をそれぞれ式変形し同じ形になることを示す．

左辺は， $z$ を $x, y$ でそれぞれ偏微分し，２式を連立させる．このとき，合成関数の微分を用いる．

右辺は， $z = log \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ を代入し，対数の性質と累乗根の性質を利用して変換した後，指数関数の底の変換を行う．

■解説

[1] 左辺に関して

$u = x^{2} + y^{2}$ とおくと

$z = \log {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ $= \frac{1}{2} \log (x^{2} + y^{2})$ $= \frac{1}{2} \log u$

$\frac{d z}{d u} = \frac{1}{2 u} = \frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})}$ 　　(対数の微分を参照)

まず， $u$ を $x$ で偏微分すると

$\frac{\partial u}{\partial x} = 2 x$

合成関数の微分より

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{d z}{d u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}$ $= \frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})} \cdot 2 x$ $= \frac{x}{x^{2} + y^{2}}$

次に， $u$ を $y$ で偏微分すると，

$\frac{\partial u}{\partial y} = 2 y$

合成関数の微分より

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{d z}{d u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}$ $= \frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})} \cdot 2 y$ $= \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$

よって，左辺は

${(\frac{\partial z}{\partial x})}^{2} + {(\frac{\partial z}{\partial y})}^{2}$

$= {(\frac{x}{x^{2} + y^{2}})}^{2} + {(\frac{y}{x^{2} + y^{2}})}^{2}$

$= \frac{x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

$= \frac{x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

$= \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 　･･････(1)

[2]右辺に関して

$z = log \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ より

$e^{2 z} = e^{2 log \sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

対数の性質より

$= e^{log {(\sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}}$

$= e^{log (x^{2} + y^{2})}$

指数と対数の関係より

$= x^{2} + y^{2}$

よって，右辺は

$\frac{1}{e^{2 z}} = \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 　　･･････(2)

(1)，(2) より，

${(\frac{\partial z}{\partial x})}^{2} + {(\frac{\partial z}{\partial y})}^{2} = \frac{1}{e^{2 z}}$

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最終更新日： 2023年8月25日