合成関数の2次偏導関数

■問題

${\displaystyle z}$ に関する方程式

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial t^2}=c^2\left(\frac{{\partial }^{2}z}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial z}{\partial r}\right)}$

において， ${\displaystyle z=\frac{1}{r}u}$ とおき， ${\displaystyle u}$ に関する方程式に変換すると

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial r^2}}$

となることを示せ．

■ヒント

${\displaystyle z}$は${\displaystyle r}$と${\displaystyle t}$ を変数とする2変数関数となる． である． ${\displaystyle z=\frac{1}{r}u}$より ${\displaystyle u=rz}$ 変形する． ${\displaystyle u}$ も ${\displaystyle r}$ と ${\displaystyle t}$ を変数とする2変数関数 となる．${\displaystyle u}$を ${\displaystyle t}$と${\displaystyle r}$ で偏微分する． このとき，合成関数の偏導関数の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle u=rz}$ において${\displaystyle u}$を ${\displaystyle t}$で偏微分する．

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}\left(rz\right)=r\frac{\partial z}{\partial t}}$

さらに ${\displaystyle u}$ を， ${\displaystyle t}$ で偏微分する． 

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\frac{\partial }{\partial t}\left(r\frac{\partial z}{\partial t}\right)=r\frac{{\partial }^{2}z}{\partial t^2}}$

となる．よって

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial t^2}=\frac{1}{r}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}}$　･･････(1)  

となる．

次に，${\displaystyle u=rz}$ において ${\displaystyle u}$ を${\displaystyle r}$ で偏微分する．

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial }{\partial r}\left(rz\right)=z+r\frac{\partial z}{\partial r}}$

さらに ${\displaystyle u}$ を， ${\displaystyle r}$ で偏微分する． 

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}u}{\partial r^2}=\frac{\partial }{\partial r}\left(z+r\frac{\partial z}{\partial r}\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial z}{\partial r}+\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial z}{\partial r}\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial z}{\partial r}+\frac{\partial z}{\partial r}+r\frac{{\partial }^{2}z}{\partial r^2}}$${\displaystyle =2\frac{\partial z}{\partial r}+r\frac{{\partial }^{2}z}{\partial r^2}}$

よって

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial z}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial r^2}}$ 　 ･･････(2)

となる．したがって

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial t^2}=c^2\left(\frac{{\partial }^{2}z}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial z}{\partial r}\right)}$

に(1)，(2)を代入しすると

${\displaystyle \frac{1}{r}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2\left(\frac{1}{r}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial r^2}\right)}$

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial r^2}}$

となる．

 

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最終更新日： 2023年9月1日