陰関数の2次導関数

■問題

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ について ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ を求めよ．

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$

■答

${\displaystyle -\frac{b^4}{a^2{y}^3}}$

■ヒント

まず，${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$より定義した${\displaystyle f\left(x,y\right)=f\left(x,\varphi \left(x\right)\right)=0}$ となる2変数関数 ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$を$x$ で微分する．その結果から${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ を求める．

■解説

⇒別解

与式を変形すると

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1}$${\displaystyle =0}$

${\displaystyle b^2{x}^2+a^2{y}^2-a^2{b}^2}$${\displaystyle =0}$

となる．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=f\left(x,\varphi \left(x\right)\right)}$${\displaystyle =b^2{x}^2+a^2{y}^2-a^2{b}^2}$

とおく．${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ を${\displaystyle x=x}$ ，${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ とする合成関数と考えて，これを${\displaystyle x}$ で微分すると

${\displaystyle \frac{d}{dx}f\left(x,y\right)}$${\displaystyle =f_x\frac{dx}{dx}+f_y\frac{dy}{dx}}$

合成関数の偏導関数の公式を用いた．

${\displaystyle =f_x+f_y\frac{dy}{dx}=0}$

よって

${\displaystyle f_y\frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =-f_x}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =-\frac{f_x}{f_y}}$　･･････(1)

ここで

${\displaystyle f_x}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(b^2{x}^2+a^2{y}^2-a^2{b}^2\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle =2b^{2}x}$　･･････(2)

${\displaystyle f_y}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(b^2{x}^2+a^2{y}^2-a^2{b}^2\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$で微分する．

${\displaystyle =2a^{2}y}$　･･････(3)

(1)に(2)，(3)を代入すると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =-\frac{2b^{2}x}{2a^{2}y}}$${\displaystyle =-\frac{b^{2}x}{a^{2}y}}$　･･････(4)

となる．

${\displaystyle g\left(x,y\right)=g\left(x,\varphi \left(x\right)\right)=-\frac{b^{2}x}{a^{2}y}}$　･･････(5)

とおく．

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$${\displaystyle =\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)}$

${\displaystyle =\frac{d}{dx}\left\{g\left(x,y\right)\right\}}$

${\displaystyle g\left(x,y\right)}$ を${\displaystyle x=x}$ ，${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ とする合成関数と考えて，これを${\displaystyle x}$ で微分する．このとき合成関数の偏導関数の公式を用いる．

${\displaystyle =g_x+g_y\frac{dy}{dx}}$　･･････(6)

ここで

${\displaystyle g_x}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}g\left(x,y\right)}$

(5)を代入する．

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(-\frac{b^{2}x}{a^{2}y}\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle =-\frac{b^2}{a^{2}y}}$　･･････(7)

${\displaystyle g_y}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}g\left(x,y\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(-\frac{b^{2}x}{a^{2}y}\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(-\frac{b^{2}x}{a^2}{y}^{-1}\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle =\frac{b^{2}x}{a^2}{y}^{-2}}$

${\displaystyle =\frac{b^{2}x}{a^2{y}^2}}$　･･････(8)

(6)に(7)，(8)，(4)を代入する．

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$${\displaystyle =g_x+g_y\frac{dy}{dx}}$

${\displaystyle =-\frac{b^2}{a^{2}y}+\frac{b^{2}x}{a^2{y}^2}·\left(-\frac{b^{2}x}{a^{2}y}\right)}$

${\displaystyle =-\frac{b^2}{a^{2}y}-\frac{b^4{x}^2}{a^4{y}^3}}$

${\displaystyle =-\left(\frac{b^2}{a^{2}y}+\frac{b^4{x}^2}{a^4{y}^3}\right)}$

${\displaystyle =-\frac{b^2\left(a^2{y}^2\right)+b^4{x}^2}{a^4{y}^3}}$

${\displaystyle =-\frac{a^2{b}^2{y}^2+b^4{x}^2}{a^4{y}^3}}$

${\displaystyle =-\frac{b^2\left(a^2{y}^2+b^2{x}^2\right)}{a^4{y}^3}}$

${\displaystyle =-\frac{b^2\left(b^2{x}^2+a^2{y}^2\right)}{a^4{y}^3}}$　･･････(9)

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$を更に変形すると

${\displaystyle b^2{x}^2+a^2{y}^2=a^2{b}^2}$　･･････(10)

となる．(9)に(10)を代入する．

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$${\displaystyle =-\frac{b^2·a^2{b}^2}{a^4{y}^3}}$

${\displaystyle =-\frac{a^2{b}^4}{a^4{y}^3}}$

${\displaystyle =-\frac{b^4}{a^2{y}^3}}$

■別解

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$の両辺を$x$で微分する．

${\displaystyle \frac{2x}{a^2}+\frac{2y}{b^2}\cdot \frac{dy}{dx}=0}$　･･････(11)

(${\displaystyle \frac{d}{dx}{y}^2}$ についてはここを参照)

(11)を${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ について解く．

${\displaystyle \frac{2y}{b^2}\cdot \frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{a^2}}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{b^{2}x}{a^{2}y}}$　･･････(12)

(11)を${\displaystyle x}$ さらに${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{2}{a^2}+\frac{2}{b^2}\cdot \frac{dy}{dx}\cdot \frac{dy}{dx}+\frac{2y}{b^2}\cdot \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=0}$　･･････(13)

(13)を${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ について解く．

${\displaystyle \frac{2y}{b^2}\cdot \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{2}{a^2}-\frac{2}{b^2}{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}$

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{b^2}{a^{2}y}-\frac{1}{y}{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}$　･･････(14)

(14)に(12)を代入する．

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{b^2}{a^{2}y}-\frac{1}{y}{\left(-\frac{b^{2}x}{a^{2}y}\right)}^2}$

${\displaystyle =-\frac{b^2}{a^{2}y}-\frac{b^4{x}^2}{a^4{y}^3}}$

${\displaystyle =-\frac{b^4}{a^2{y}^3}\left(\frac{y^2}{b^2}+\frac{x^2}{a^2}\right)}$　･･････(15)

(15)に${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$を代入する．

${\displaystyle =-\frac{b^4}{a^2{y}^3}}$

　

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2最終更新日： 2023年9月15日