陰関数の2次導関数

■問題

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ について ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ を求めよ．

${\displaystyle y=e^{x+y}}$

■答

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{y}{{\left(1-y\right)}^3}}$ 

■ヒント

まず，${\displaystyle y=e^{x+y}}$より定義した${\displaystyle f\left(x,y\right)=f\left(x,\varphi \left(x\right)\right)=0}$ となる2変数関数 ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$を$x$ で微分する．その結果から${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ を求める．

■解説

⇒別解

与式を変形すると

${\displaystyle e^{x+y}-y=0}$

となる．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=f\left(x,\varphi \left(x\right)\right)=e^{x+y}-y}$

とおく．${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ を${\displaystyle x=x}$ ，${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ とする合成関数と考えて，これを${\displaystyle x}$ で微分すると

${\displaystyle \frac{d}{dx}f\left(x,y\right)}$${\displaystyle =f_x\frac{dx}{dx}+f_y\frac{dy}{dx}}$

合成関数の偏導関数の公式を用いた．

${\displaystyle =f_x+f_y\frac{dy}{dx}=0}$

よって

${\displaystyle f_y\frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =-f_x}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =-\frac{f_x}{f_y}}$　･･････(1)

ここで

${\displaystyle f_x}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(e^{x+y}-y\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(e^x·e^y-y\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle =e^x·e^y}$

${\displaystyle =e^{x+y}}$　･･････(2)

${\displaystyle f_y}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(e^{x+y}-y\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(e^x·e^y-y\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle =e^x·e^y-1}$

${\displaystyle =e^{x+y}-1}$　･･････(3)

(1)に(2)，(3)を代入すると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =-\frac{f_x}{f_y}}$${\displaystyle =-\frac{e^{x+y}}{e^{x+y}-1}}$　･･････(4)

となる．

${\displaystyle g\left(x,y\right)=g\left(x,\varphi \left(x\right)\right)=-\frac{e^{x+y}}{e^{x+y}-1}}$　･･････(5)

とおく．

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$${\displaystyle =\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)}$

${\displaystyle =\frac{d}{dx}\left\{g\left(x,y\right)\right\}}$

${\displaystyle g\left(x,y\right)}$ を${\displaystyle x=x}$ ，${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ とする合成関数と考えて，これを${\displaystyle x}$ で微分する．このとき合成関数の偏導関数の公式を用いる．

${\displaystyle =g_x+g_y\frac{dy}{dx}}$　･･････(6)

ここで

${\displaystyle g_x}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}g\left(x,y\right)}$

(5)を代入する．

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(-\frac{e^{x+y}}{e^{x+y}-1}\right)}$

${\displaystyle =-\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{e^{x+y}}{e^{x+y}-1}\right)}$

${\displaystyle =-\frac{\partial }{\partial x}\left\{e^{x+y}{\left(e^{x+y}-1\right)}^{-1}\right\}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．
関数の積の微分の公式を用いる．

${\displaystyle e^x}$ の微分の公式を用いる．

${\displaystyle =-\left\{\frac{e^{x+y}}{e^{x+y}-1}-\frac{{\left(e^{x+y}\right)}^2}{{\left(e^{x+y}-1\right)}^2}\right\}}$

${\displaystyle =-\left\{\frac{e^{x+y}\left(e^{x+y}-1\right)-{\left(e^{x+y}\right)}^2}{{\left(e^{x+y}-1\right)}^2}\right\}}$

${\displaystyle =-\frac{e^{2x+2y}-e^{x+y}-e^{2x+2y}}{{\left(e^{x+y}-1\right)}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{-e^{x+y}}{{\left(e^{x+y}-1\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{e^{x+y}}{{\left(e^{x+y}-1\right)}^2}}$　･･････(7)

${\displaystyle g_y}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}g\left(x,y\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(-\frac{e^{x+y}}{e^{x+y}-1}\right)}$

${\displaystyle =-\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{e^{x+y}}{e^{x+y}-1}\right)}$

${\displaystyle =-\frac{\partial }{\partial y}\left\{e^{x+y}{\left(e^{x+y}-1\right)}^{-1}\right\}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．
関数の積の微分の公式を用いる．

${\displaystyle e^x}$ の微分の公式を用いる．

${\displaystyle =-\left\{\frac{e^{x+y}}{e^{x+y}-1}-\frac{{\left(e^{x+y}\right)}^2}{{\left(e^{x+y}-1\right)}^2}\right\}}$

${\displaystyle =-\left\{\frac{e^{x+y}\left(e^{x+y}-1\right)-{\left(e^{x+y}\right)}^2}{{\left(e^{x+y}-1\right)}^2}\right\}}$

${\displaystyle =-\frac{e^{2x+2y}-e^{x+y}-e^{2x+2y}}{{\left(e^{x+y}-1\right)}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{-e^{x+y}}{{\left(e^{x+y}-1\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{e^{x+y}}{{\left(e^{x+y}-1\right)}^2}}$　･･････(8)

(6)に(7)，(8)，(4)を代入する．

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$${\displaystyle =g_x+g_y\frac{dy}{dx}}$

${\displaystyle =\frac{e^{x+y}}{{\left(e^{x+y}-1\right)}^2}-\frac{{\left(e^{x+y}\right)}^2}{{\left(e^{x+y}-1\right)}^3}}$

${\displaystyle =\frac{e^{x+y}\left(e^{x+y}-1\right)-{\left(e^{x+y}\right)}^2}{{\left(e^{x+y}-1\right)}^3}}$

${\displaystyle =\frac{e^{2x+2y}-e^{x+y}-e^{2x+2y}}{{\left(e^{x+y}-1\right)}^3}}$

${\displaystyle =\frac{-e^{x+y}}{{\left(e^{x+y}-1\right)}^3}}$

${\displaystyle =\frac{e^{x+y}}{{\left(1-e^{x+y}\right)}^3}}$

${\displaystyle y=e^{x+y}}$ の関係から

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{y}{{\left(1-y\right)}^3}}$

■別解

${\displaystyle y=e^{x+y}}$ の両辺を$x$で微分する．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=e^{x+y}\frac{d}{dx}\left(x+y\right)}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=e^{x+y}\frac{d}{dx}\left(1+\frac{dy}{dx}\right)}$

${\displaystyle y=e^{x+y}}$ より

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=y\left(1+\frac{dy}{dx}\right)}$ 　･･････(9)

(9)を${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ について解く．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=y+y\frac{dy}{dx}}$

${\displaystyle \left(1-y\right)\frac{dy}{dx}=y}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y}{1-y}}$ 　･･････(10)

(9)を${\displaystyle x}$ さらに${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{dy}{dx}\left(1+\frac{dy}{dx}\right)+y\frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ 　･･････(11)

(11)を${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ について解く．

${\displaystyle \left(1-y\right)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{dy}{dx}\left(1+\frac{dy}{dx}\right)}$

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{1}{1-y}\frac{dy}{dx}\left(1+\frac{dy}{dx}\right)}$ 　･･････(12)

(12)に(10)を代入する．

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{1}{1-y}\cdot \frac{y}{1-y}\left(1+\frac{y}{1-y}\right)}$

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{1}{1-y}\cdot \frac{y}{1-y}\cdot \frac{1}{1-y}}$

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{y}{{\left(1-y\right)}^3}}$

　

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最終更新日： 2023年9月15日