陰関数の接線の方程式

■問題

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ の点 ${\displaystyle \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}$ における接線の方程式を求めよ．

${\displaystyle x^3+y^3-xy=0}$

■答

${\displaystyle x+y}$ ${\displaystyle =1}$

■ヒント

2変数関数 ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$を$x$ で微分する．その結果から接線の傾き${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ を求める．

■解説

${\displaystyle f\left(x,y\right)=f\left(x,\varphi \left(x\right)\right)=x^3+y^3-xy}$

とおく． ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ を${\displaystyle x=x}$ ，${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ とする合成関数と考えて，これを${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{d}{dx}f\left(x,y\right)}$${\displaystyle =f_x\frac{dx}{dx}+f_y\frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =f_x+f_y\frac{dy}{dx}=0}$

よって

${\displaystyle f_y\frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =-f_x}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =-\frac{f_x}{f_y}}$

ここで， ${\displaystyle \frac{dx}{dy}}$ は，この関数の任意の点での接線の傾きであるから，点 ${\displaystyle \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}$ での傾きを ${\displaystyle m}$ とすると

${\displaystyle m=-\frac{f_x\left(a,b\right)}{f_y\left(a,b\right)}}$

となる．点 ${\displaystyle \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}$ における接線の方程式は

${\displaystyle y-\frac{1}{2}=m\left(x-\frac{1}{2}\right)}$

${\displaystyle y-b=-\frac{f_x\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}{f_y\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}\left(x-a\right)}$　･･････(1)

ここで ${\displaystyle f_x,f_y}$ はそれぞれ

${\displaystyle f_x}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(x^3+y^3-xy\right)}$

${\displaystyle =3x^2-y}$

${\displaystyle f_y}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$で微分する．

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(x^3+y^3-xy\right)}$

${\displaystyle =3y^2-x}$

となり，点 ${\displaystyle \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}$ での値はそれぞれ

${\displaystyle f_x\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}$ ${\displaystyle =3{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{2}}$${\displaystyle =\frac{3}{4}-\frac{2}{4}}$${\displaystyle =\frac{1}{4}}$　･･････(2)

${\displaystyle f_y\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}$ ${\displaystyle =3{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{2}}$${\displaystyle =\frac{3}{4}-\frac{2}{4}}$${\displaystyle =\frac{1}{4}}$　･･････(3)

である．(2)，(3)を(1)に代入する．

${\displaystyle y-\frac{1}{2}}$${\displaystyle =-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}\left(x-\frac{1}{2}\right)}$

${\displaystyle y=\left(-1\right)·\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}}$

${\displaystyle y=-x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}$

${\displaystyle x+y=1}$

　

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>偏微分>>問題演習>>陰関数の接線の方程式

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年9月16日