最小値の計算

■問題

${\displaystyle x+y+z=1}$  のとき

${\displaystyle x^2+2y^2+z^2}$ の最小値とそのときのx ，y ，z の値をを求めよ．

■答

最小値は，${\displaystyle x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{5},z=\frac{2}{5}}$   のとき， ${\displaystyle \frac{2}{5}}$   となる．

■解説

${\displaystyle x+y+z=1}$の関係を用いて文字を減らす．今回は

${\displaystyle z=1-x-y}$  

として，z を消去する．

${\displaystyle x^2+2y^2+z^2=x^2+2y^2+{\left(1-x-y\right)}^2}$  ･･････(1)

(1)を x について整理し，平方完成していく（x に関して平方完成し，次に定数項（x を含まない項）をy に関して平方完成する）と

${\displaystyle =x^2+2y^2+1+x^2+y^2}$${\displaystyle -2x+2xy-2y}$

${\displaystyle =2x^2+2\left(y-1\right)x+3y^2-2y+1}$

${\displaystyle =2{\left(x+\frac{y-1}{2}\right)}^2}$${\displaystyle -\frac{{\left(y-1\right)}^2}{2}+3y^2-2y+1}$

${\displaystyle =2{\left(x+\frac{y-1}{2}\right)}^2+\frac{5}{2}{y}^2-y+\frac{1}{2}}$

${\displaystyle =2{\left(x+\frac{y-1}{2}\right)}^2+\frac{5}{2}{\left(y-\frac{1}{5}\right)}^2+\frac{2}{5}}$　･･････(2)

が得られる．最小値は

${\displaystyle x+\frac{y-1}{2}=0,y-\frac{1}{5}=0}$  のとき，${\displaystyle \frac{2}{5}}$  

となる．すなわち，最小値は

${\displaystyle x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{5},z=\frac{2}{5}}$  のとき，${\displaystyle \frac{2}{5}}$  

となる．

　

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最終更新日： 2024年9月13日