双曲線の問題

■問題

双曲線 ${\displaystyle \frac{{\left(x-1\right)}^2}{4}-\frac{{\left(y+2\right)}^2}{4}=1}$ のグラフを描け（漸近線も入れよ）．さらに，頂点座標を求めよ．

■答

漸近線：${\displaystyle \{\begin{array}{l}y=x-3\\ y=-x-1\end{array}}$

頂点座標：${\displaystyle \left(-1,-2\right)}$ ，${\displaystyle \left(3,-2\right)}$

■解き方

${\displaystyle \frac{{\left(x-1\right)}^2}{2^2}-\frac{{\left(y+2\right)}^2}{2^2}=1}$ ･･････(1)

このグラフは

${\displaystyle \frac{x^2}{2^2}-\frac{y^2}{2^2}=1}$ ･･････(2)

のグラフを

${\displaystyle x}$ 軸方向に${\displaystyle 1}$ ，${\displaystyle y}$ 軸方向に${\displaystyle -2}$ 平行移動したもの

である．

(2)のグラフの漸近線を${\displaystyle y=ax+b}$ とすると

${\displaystyle \frac{x^2}{2^2}-\frac{y^2}{2^2}=1}$ ，${\displaystyle \frac{y^2}{2^2}=\frac{x^2}{2^2}-1}$，${\displaystyle y^2=x^2-4}$ ，${\displaystyle y=\pm \sqrt{x^2-4}}$ ，${\displaystyle f\left(x\right)=\pm \sqrt{x^2-4}}$

${\displaystyle a=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\pm \sqrt{x^2-4}}{\sqrt{x^2}}}$${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }\pm \sqrt{1+\frac{4}{x^2}}}$${\displaystyle =\pm 1}$

${\displaystyle b=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left\{f\left(x\right)-ax\right\}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left\{\pm \sqrt{x^2-4}-\left(\pm 1\right)x\right\}}$${\displaystyle =\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\pm \left(\sqrt{x^2-4}-x\right)}$${\displaystyle =\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\pm \frac{\left(\sqrt{x^2-4}-x\right)\left(\sqrt{x^2-4}+x\right)}{\left(\sqrt{x^2-4}+x\right)}}$${\displaystyle \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\pm \frac{\left(x^2-4\right)-x^2}{\left(\sqrt{x^2-4}+x\right)}}$${\displaystyle =\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\pm \frac{-4}{\left(\sqrt{x^2-4}+x\right)}}$${\displaystyle =0}$

よって，漸近線は

${\displaystyle y=\pm x}$

${\displaystyle $ {\displaystyle y=x}$}$，${\displaystyle y=-x}$

で，頂点座標は

${\displaystyle \frac{0^2}{2^2}-\frac{y^2}{2^2}=1}$ ，${\displaystyle \frac{y^2}{2^2}=1}$ ，${\displaystyle y^2=2^2}$ ，${\displaystyle y=\pm 2}$

より

${\displaystyle \left(-2,0\right)}$ ，${\displaystyle \left(2,0\right)}$

である．

よって，(1)のグラフの頂点座標は

${\displaystyle \left(-1,-2\right)}$ ，${\displaystyle \left(3,-2\right)}$

漸近線は

${\displaystyle y+2=x-1\to y=x-3}$

${\displaystyle y+2=-\left(x-1\right)\to y=-x-1}$

よってグラフは下図のようになる．

 

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最終更新日： 2023年7月18日