3次関数のグラフの式を求める問題

■問題

図は $x$ 切片が $-3$ ， $-1$ , $2$ , $y$ 切片が $-3$ の3次関数のグラフである．グラフを表す3次関数の式を求めよ．

■答

${\displaystyle y=\frac{1}{3}\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$

■ヒント

3次関数のグラフのページを参照

■解説

$x$ 切片が $-3$ ， $-1$ , $2$ より，3次関数は一般的に

${\displaystyle y=a\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$ 　･･････(1)

ただし， $a$ は定数

と表される．

$y$ 切片が $-2$ より，(1)に $x=0$ ， $y=-2$ を代入する．

${\displaystyle -2=a\left(0+3\right)\left(0+1\right)\left(0-2\right)}$

${\displaystyle -2=-6a}$

${\displaystyle a=\frac{1}{3}}$ 　･･････(2)

(1)に(2)を代入する．

${\displaystyle y=\frac{1}{3}\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$ 　･･････(3)

(3)が求める2次関数の式になる．

■別解

3次関数は一般的に

${\displaystyle y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d}$ 　･･････(4)

と表される．

$x$ 切片が $-3$ ， $-1$ , $2$ , $y$ 切片が $-2$ より，以下の連立方程式が成り立つ．

この連立方程式を解く

（5)，(6)，(7)に(8)を代入する．

${\displaystyle -27a+9b-3c-2=0}$ 　･･････(10)

${\displaystyle -a+b-c-2=0}$ 　･･････(11)

${\displaystyle 8a+4b+2c-2=0}$ 　･･････(12)

(10)-(11)×2より

${\displaystyle -24a+6b+4=0}$ 　･･････(13)

(12)+(11)×2より

${\displaystyle 6a+6b-6=0}$ 　･･････(14)

(14)-(13)より

${\displaystyle 30a-10=0}$

${\displaystyle a=\frac{1}{3}}$ 　･･････(15)

(15)を(14)に代入する．

${\displaystyle 6\cdot \frac{1}{3}+6b-6=0}$

${\displaystyle b=\frac{2}{3}}$ 　･･････(16)

(15)，(16)を(11)に代入する．

${\displaystyle -\frac{1}{3}+\frac{2}{3}-c-2=0}$

${\displaystyle c=-\frac{5}{3}}$ 　･･････(17)

(15)，(16)，(17)，(8)を(4)に代入する．

${\displaystyle y=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{3}{x}^2-\frac{5}{3}x-2}$ 　･･････(18)

(18)が求める3次関数である．(18)を因数分解すると(3)になる．

 

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最終更新日： 2024年9月13日