3次関数のグラフ

3次関数を表す一般式は

${\displaystyle y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d}$ ･･････(1)

である．

⇒ $x$ 軸との交差の仕方による分類

⇒導関数の判別式による分類

■3次関数のグラフ

下のグラフは(1)の3次関数のグラフを描いたものである．3次関数の係数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ を右上のスライダー用いて変化させるとグラフが変化する．

■ $x$ 軸との交差の仕方による分類

3次関数のグラフは少なくとも $x$ 軸と1点で交差する．その交差点を ${\displaystyle \left(\alpha ,0\right)}$ とすると3次関数は

${\displaystyle y=a\left(x-\alpha \right)\left(x^2+bx+c\right)}$ ･･････(2)

と表される．3次関数の特徴を ${\displaystyle x^2+bx+c=0}$ の判別式の値で分類する．

● ${\displaystyle D=b^2-4c>0}$ ，異なる実数解 $\beta$ ， $\gamma$ （ただし， ${\displaystyle \beta \ne \alpha }$ ， ${\displaystyle \gamma \ne \alpha }$ ）を持つ場合

3次関数は $x$ 軸と3点 ${\displaystyle \left(\alpha ,0\right)}$ ， ${\displaystyle \left(\beta ,0\right)}$ ， ${\displaystyle \left(\gamma ,0\right)}$ で交差する．(2)は以下のようになる．

${\displaystyle y=a\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)\left(x-\gamma \right)}$ ･･････(3)

$a$ ， $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ は定数． ただし， ${\displaystyle a\ne 0}$ ， $\alpha \ne \beta$ ， $\beta \ne \gamma$ ， $\gamma \ne \alpha$

● ${\displaystyle D=b^2-4c=0}$ ，重解 $\beta$ を持つ場合

• ${\displaystyle \beta \ne \alpha }$ のとき

  $x$ 軸と点 ${\displaystyle \left(\alpha ,0\right)}$ で交差し，点 ${\displaystyle \left(\beta ,0\right)}$ で接する．(2)は以下のようになる．

  ${\displaystyle y=a\left(x-\alpha \right){\left(x-\beta \right)}^2}$ ･･････(4)

  $a$ ， $\alpha$ ， $\beta$ は定数． ただし， ${\displaystyle a\ne 0}$ ， $\alpha \ne \beta$

  (4)の導関数を求める．

  ${\displaystyle y^{\prime }=a{\left(x-\alpha \right)}^{\prime }{\left(x-\beta \right)}^2}$ ${\displaystyle +a\left(x-\alpha \right){\left\{{\left(x-\beta \right)}^2\right\}}^{\prime }}$

  ${\displaystyle =a{\left(x-\beta \right)}^2}$ ${\displaystyle +a\left(x-\alpha \right)\cdot 2\left(x-\beta \right)}$

  ${\displaystyle =a\left(x-\beta \right)\left\{\left(x-\beta \right)+2\left(x-\alpha \right)\right\}}$

  ${\displaystyle =a\left(x-\beta \right)\left(3x-2\alpha -\beta \right)}$ ･･････(5)

  したがって， ${\displaystyle x=\beta }$ で ${\displaystyle y=0}$ ， ${\displaystyle y^{\prime }=0}$ より，点 ${\displaystyle \left(\beta ,0\right)}$ で $x$ 軸と接する．

• ${\displaystyle \beta =\alpha }$ のとき

  $x$ 軸と点 ${\displaystyle \left(\alpha ,0\right)}$ で交差するが，点 ${\displaystyle \left(\alpha ,0\right)}$ における接線の傾きはゼロになっている．(2)は以下のようになる．

  ${\displaystyle y=a{\left(x-\alpha \right)}^3}$ ･･････(6)

  $a$ ， $\alpha$ は定数． ただし， ${\displaystyle a\ne 0}$

  (6)の導関数，第2次導関数を求める．

  ${\displaystyle y^{\prime }=3a{\left(x-\alpha \right)}^2}$ ･･････(7)

  ${\displaystyle y^{″}=6a\left(x-\alpha \right)}$ ･･････(8)

  したがって， ${\displaystyle x=\alpha }$ で ${\displaystyle y=0}$ ， ${\displaystyle y^{\prime }=0}$ ， ${\displaystyle y^{″}=0}$ より，点 ${\displaystyle \left(\alpha ,0\right)}$ は変曲点で $x$ 軸と点 ${\displaystyle \left(\alpha ,0\right)}$ で交差するが，点 ${\displaystyle \left(\alpha ,0\right)}$ における接線の傾きはゼロになっている．

● ${\displaystyle D=b^2-4c<0}$ ，実数解を持たない場合

$x$ 軸と点 ${\displaystyle \left(\alpha ,0\right)}$ で交差する．(2)は以下のようになる．

${\displaystyle y=a\left(x-\alpha \right)\left(x^2+bx+c\right)}$ ･･････(6)

$a$ ， $b$ ， $c$ ， $\alpha$ は定数． ただし， ${\displaystyle a\ne 0}$

■導関数の判別式による分類

${\displaystyle y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d}$

${\displaystyle y^{\prime }=f^{\prime }\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c}$

${\displaystyle =3a\left(x^2+\frac{2b}{3a}x\right)+c}$

${\displaystyle =3a\left\{x^2+\frac{2b}{3a}x+{\left(\frac{b}{3a}\right)}^2-{\left(\frac{b}{3a}\right)}^2\right\}+c}$

${\displaystyle =3a{\left(x+\frac{b}{3a}\right)}^2-3a{\left(\frac{b}{3a}\right)}^2+c}$

${\displaystyle =3a{\left(x+\frac{b}{3a}\right)}^2-\frac{b^2-3bc}{3a}}$

${\displaystyle y^{″}=f^{″}\left(x\right)=6ax+2b}$ ${\displaystyle =6a\left(x+\frac{b}{3a}\right)}$

導関数の判別式 ${\displaystyle \frac{D}{4}=b^2-3ac}$ で3次関数グラフの特徴を分類する.

■点対称のグラフ

${\displaystyle y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d}$ のグラフは， 変曲点 ${\displaystyle \left(\mu ,f\left(\mu \right)\right)}$ に関して対称(点対称)である．⇒証明

　

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最終更新日： 2025年4月27日