高次導関数(Higher Derivatives)

関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ が区間${\displaystyle I}$ で微分可能であれば導関数 ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)}$ が存在する．導関数${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)}$ は関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ と同様に${\displaystyle x}$ の関数であるので微分可能性を検討することができる．区間 ${\displaystyle I}$ で導関数${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)}$ が微分可能ならば，関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ は，区間${\displaystyle I}$ で2回微分可能であるといい，関数 ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)}$ の導関数のことを第2次導関数といい ${\displaystyle f^{″}\left(x\right)}$ であらわす．同様に考え，関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ が区間${\displaystyle I}$ で${\displaystyle n}$ 回微分可能であれば，第${\displaystyle n}$ 次導関数が存在する．このような2次以上の導関数のことを高次導関数(Higher Derivatives)という．

■高次導関数の表記の仕方

高次の導関数は，表記の仕方が複数通りある．その主なものを以下に示す．

関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ が${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ となっている時

第2次導関数

${\displaystyle f^{″}\left(x\right)}$ ，${\displaystyle y^{″}}$，${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$，${\displaystyle \frac{d^{2}f}{d{x}^2}}$，${\displaystyle \frac{d^2}{d{x}^2}f\left(x\right)}$

第3次導関数

${\displaystyle f^{‴}\left(x\right)}$ ，${\displaystyle y^{‴}}$，${\displaystyle \frac{d^{3}y}{d{x}^3}}$，${\displaystyle \frac{d^{3}f}{d{x}^3}}$，${\displaystyle \frac{d^3}{d{x}^3}f\left(x\right)}$

第4次導関数

${\displaystyle f^{\left(4\right)}\left(x\right)}$ ，${\displaystyle y^{\left(4\right)}}$ ，${\displaystyle \frac{d^{4}y}{d{x}^4}}$，${\displaystyle \frac{d^{4}f}{d{x}^4}}$，${\displaystyle \frac{d^4}{d{x}^4}f\left(x\right)}$

4次以上の導関数では，ダッシュ「´」ではなく()の中に数字を書いたものを${\displaystyle y}$ ，${\displaystyle f}$の右上につけて導関数の次数を表す．

第${\displaystyle n}$ 次導関数

${\displaystyle f^{\left(n\right)}\left(x\right)}$ ，${\displaystyle y^{\left(n\right)}}$ ，${\displaystyle \frac{d^{n}y}{d{x}^n}}$，${\displaystyle \frac{d^{n}f}{d{x}^n}}$，${\displaystyle \frac{d^n}{d{x}^n}f\left(x\right)}$

　

■高次の導関数が使われる場面

2次導関数は，関数の凹凸や変曲点を調べるのに使われる．高次の導関数は，テイラー展開，マクローリン展開などで使われる．

　

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最終更新日：2024年5月17日