高次導関数(Higher Derivatives)
関数
f
x
が区間
I
で微分可能であれば導関数
f
′
x
が存在する.導関数
f
′
x
は関数
f
x
と同様に
x
の関数であるので微分可能性を検討することができる.区間
I
で導関数
f
′
x
が微分可能ならば,関数
f
x
は,区間
I
で2回微分可能であるといい,関数
f
′
x
の導関数のことを第2次導関数といい
f
″
x
であらわす.同様に考え,関数
f
x
が区間
I
で
n
回微分可能であれば,第
n
次導関数が存在する.このような2次以上の導関数のことを高次導関数(Higher Derivatives)という.
■高次導関数の表記の仕方
高次の導関数は,表記の仕方が複数通りある.その主なものを以下に示す.
関数
f
x
が
y=f
x
となっている時
第2次導関数
f
″
x
,
y
″
,
d
2
y
d
x
2
,
d
2
f
d
x
2
,
d
2
d
x
2
f
x
第3次導関数
f
‴
x
,
y
‴
,
d
3
y
d
x
3
,
d
3
f
d
x
3
,
d
3
d
x
3
f
x
第4次導関数
f
4
x
,
y
4
,
d
4
y
d
x
4
,
d
4
f
d
x
4
,
d
4
d
x
4
f
x
4次以上の導関数では,ダッシュ「´」ではなく()の中に数字を書いたものを
y
,
f
の右上につけて導関数の次数を表す.
第
n
次導関数
f
n
x
,
y
n
,
d
n
y
d
x
n
,
d
n
f
d
x
n
,
d
n
d
x
n
f
x
■高次の導関数が使われる場面
2次導関数は,関数の凹凸や変曲点を調べるのに使われる.高次の導関数は,テイラー展開,マクローリン展開などで使われる.
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最終更新日:2022年6月30日