3次関数 f x = a x 3 + b x 2 + c x + d は， 変曲点 μ , f μ に関して対称(点対称)である．ただし， μ=− b 3a
y ′ = f ′ x =3a x 2 +2bx+c
y ″ = f ″ x =6ax+2b =6a x+ b 3a
よって，点 μ,f μ は変曲点となる．
3次関数 y=f x のグラフ上の点 μ+λ,f μ+λ と点 μ−λ,f μ−λ の中点が μ,f μ になっていればよい．以下にそのことを示す.
f − b 3a +λ =a − b 3a +λ 3 +b − b 3a +λ 2 +c − b 3a +λ +d
=a − b 3a 3 +3 − b 3a 2 λ+3 − b 3a λ 2 + λ 3 +b − b 3a 2 +2 − b 3a λ+ λ 2 +c − b 3a +λ +d ･･････(1)
f − b 3a −λ =a − b 3a −λ 3 +b − b 3a −λ 2 +c − b 3a −λ +d
=a − b 3a 3 −3 − b 3a 2 λ+3 − b 3a λ 2 − λ 3 +b − b 3a 2 −2 − b 3a λ+ λ 2 +c − b 3a −λ +d ･･････(2)
(1)，(2)より
1 2 f − b 3a +λ +f − b 3a −λ
= 1 2 2a − b 3a 3 +6a − b 3a λ 2 +2b − b 3a 2 +2b λ 2 +2c − b 3a +2d
=a − b 3a 3 +b − b 3a 2 +c − b 3a +d
=f − b 3a
したがって
点 μ+λ,f μ+λ と点 μ−λ,f μ−λ の中点は μ,f μ である．
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最終更新日： 2024年6月14日
