2次不等式に関する問題

■問題

$3 x^{2} + 10 x + 3 ≦ 0$ ･･････(1)

の解を求めよ．

$- 3 ≦ x ≦ - \frac{1}{3}$

(1)の左辺を因数分解すると

$(3 x + 1) (x + 3) ≦ 0$ ･･････(2)

となる． $3 x^{2} + 10 x + 3$ の因数分解についてはこのページを参照する．詳しく解説をしている．

(2)の不等式が成り立つのは

$3 x + 1 ≧ 0$ ，かつ， $x + 3 ≦ 0$ の場合　･･････(I)

あるいは

$3 x + 1 ≦ 0$ ，かつ， $x + 3 ≧ 0$ の場合　･･････(II)

である．

（I)より

$x ≧ - \frac{1}{3}$ ，かつ， $x ≦ - 3$

図で示すと

すなわち

解なし　･･････(3)

となる．

（II)より

$x ≦ - \frac{1}{3}$ ，かつ， $x ≧ - 3$

図で示すと

すなわち

$- 3 ≦ x ≦ - \frac{1}{3}$ ･･････(4)

となる．

以上，(3)と(4)より，(1)の不等式の解は

$- 3 ≦ x ≦ - \frac{1}{3}$

となる．

$y = 3 x^{2} + 10 x + 3$ $= (3 x + 1) (x + 3)$ ･･････(5)

とおき，(1)の解と(5)のグラフの関係を確認すと，(1)を満たす部分は，グラフの $x$ 軸より下の部分になり，容易に解の範囲を理解するができる．

最終更新日： 2026年8月16日