2次不等式に関する問題

■問題

$3 x^{2} + 10 x + 3 ≦ 0$ ･･････(1)

の解を求めよ．

$- 3 ≦ x ≦ - \frac{4}{3}$

(1)の左辺を因数分解すると

$(x + 3) (3 x + 4) ≦ 0$ ･･････(2)

となる． $3 x^{2} + 10 x + 3$ の因数分解についてはこのページを参照する．詳しく解説をしている．

(2)の不等式が成り立つのは

$x + 3 ≧ 0$ ，かつ， $3 x + 4 ≦ 0$ の場合　･･････(I)

あるいは

$x + 3 ≦ 0$ ，かつ， $3 x + 4 ≧ 0$ の場合　･･････(II)

である．

（I)より

$x ≧ - 3$ ，かつ， $x ≦ - \frac{4}{3}$

図で示すと

すなわち

$- 3 ≦ x ≦ - \frac{4}{3}$ ･･････(3)

となる．

（II)より

$x ≦ - 3$ ，かつ， $x ≧ - \frac{4}{3}$

図で示すと

すなわち

解なし　･･････(4)

となる．

以上，(3)と(4)より，(1)の不等式の解は

$- 3 ≦ x ≦ - \frac{4}{3}$

となる．

$y = 3 x^{2} + 10 x + 3$ $= (x + 3) (3 x + 4)$ ･･････(5)

とおき，(1)の解と(5)のグラフの関係を確認すと，(1)を満たす部分は，グラフの $x$ 軸より下の部分になり，容易に解の範囲を理解するができる．

最終更新日： 2025年4月27日