因数分解

■問題

次の式を因数分解しなさい．

${\displaystyle 3x^2+10x+3}$

■答

${\displaystyle \left(x+3\right)\left(3x+1\right)}$

■ヒント

たすきがけ手法を利用する．

■解き方

因数分解の基本公式より

${\displaystyle ac{x}^2+\left(ad+bc\right)x+bd=3x^2+10x+3}$

すなわち

${\displaystyle ac=3}$ ，${\displaystyle ad+bc=10}$ ，${\displaystyle bd=3}$

であり，これを満たす${\displaystyle a}$ ，${\displaystyle b}$，${\displaystyle c}$，${\displaystyle d}$を求める．

${\displaystyle ac=3}$ を満たす整数${\displaystyle a}$，${\displaystyle c}$は

${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=1\\ c=3\end{array}}$   ${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=3\\ c=1\end{array}}$   ${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=-1\\ c=-3\end{array}}$   ${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=-3\\ c=-1\end{array}}$

${\displaystyle bd=3}$ を満たす整数${\displaystyle b}$，${\displaystyle d}$は

${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=1\\ c=3\end{array}}$   ${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=3\\ c=1\end{array}}$   ${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=-1\\ c=-3\end{array}}$   ${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=-3\\ c=-1\end{array}}$

これをたすきがけ手法を用いて，${\displaystyle ad+bc=10}$ を満たすものを見つける．

${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=1\\ c=3\end{array}}$ ，${\displaystyle \{\begin{array}{c}b=1\\ d=3\end{array}}$ のとき

となるので，失敗である．

${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=1\\ c=3\end{array}}$ ，${\displaystyle \{\begin{array}{c}b=3\\ d=1\end{array}}$ のとき

となるので，成功である．

よって，${\displaystyle \{\begin{array}{cc}a=1& b=3\\ c=3& d=1\end{array}}$ とすればよい．

したがって，${\displaystyle \left(ax+b\right)\left(cx+d\right)}$ に代入すると

${\displaystyle 3x^2+10x+3=\left(x+3\right)\left(3x+1\right)}$

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最終更新日： 2023年7月20日