極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sqrt[3]{8+x}-2}}$

■答

${\displaystyle 12}$

■ヒント

${\displaystyle x\to 0}$ のとき，分子 ${\displaystyle \to 0}$ ，分母 ${\displaystyle \to 0}$ となり， ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ の不定形となる．

${\displaystyle x\to 0}$ のとき，分子 ${\displaystyle \to 0}$ ，分母 ${\displaystyle \to 0}$ となり，分母，分子の式には因数 ${\displaystyle x}$ が含まれる（因数定理を参照）．

分子には ${\displaystyle x}$ が現れているが，分母には ${\displaystyle x}$ が現れていない．

${\displaystyle x^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}$ を参考にして， ${\displaystyle \sqrt[3]{8+x}-2}$ を以下のように式変形すると

${\displaystyle =\frac{x}{{\left(\sqrt[3]{8+x}\right)}^2+2\sqrt[3]{8+x}+4}}$

と式変形でき，因数 ${\displaystyle x}$ が含まれる式となる．

■解き方

${\displaystyle x\to 0}$ のとき，分子 ${\displaystyle \to 0}$ ，分母 ${\displaystyle \to 0}$ となり， ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ の不定形となる．

そこで共通因数 ${\displaystyle x}$ を出現させるために分母を有理化する．

${\displaystyle 3}$ 次式の因数分解の公式 ${\displaystyle x^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}$ を参考にして，分子と分母に ${\displaystyle {\left(\sqrt[3]{8+x}\right)}^2+2\sqrt[3]{8+x}+4}$ を掛けると

${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\left({\left(\sqrt[3]{8+x}\right)}^2+2\sqrt[3]{8+x}+4\right)}$

${\displaystyle ={\left(\sqrt[3]{8+0}\right)}^2+2\sqrt[3]{8+0}+4}$

${\displaystyle =12}$

となる．

●別解

${\displaystyle x\to 0}$ のとき，分子 ${\displaystyle \to 0}$ ，分母 ${\displaystyle \to 0}$ となり， ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ の不定形となる．

よって，ロピタルの定理を利用する．

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sqrt[3]{8+x}-2}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left(x\right)}^{\prime }}{{\left(\sqrt[3]{8+x}-2\right)}^{\prime }}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\frac{1}{3{\left(\sqrt[3]{8+x}\right)}^2}}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{\frac{1}{3\cdot 2^2}}}$ ${\displaystyle =12}$

 

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最終更新日： 2026年9月1日