べき級数に展開する問題

べき級数に展開する問題

■問題

次の関数をべき級数展開マクローリン展開)をせよ.

1 1+2x 3

■ヒント

( 1 + x ) α のマクローリン展開の公式

( 1+x ) α =1+αx+ α( α1 ) 2! x 2 + α( α1 )( α2 ) 3! x 3 +

を用いる.

■答

1 1+2x 3 = ( 1+2x ) 3 2

したがって, ( 1 + x ) α のマクローリン展開の公式 x 2x α 3 2 に置き換える.

1 1+2x 3 =1 2 3 x+ 8 9 x 2 112 81 x 3 +

■別解

f( x )= 1 1+2x 3 = ( 1+2x ) 1 3 とおく.  f( 0 )= 1 1 3 =1  

f ( x )=( 1 3 ) ( 1+2x ) 4 3 ( 1+2x ) =( 1 3 ) ( 1+2x ) 4 3 2 =( 2 3 ) ( 1+2x ) 4 3   f ( 0 )= 2 3  

f ( x )=( 2 3 )( 4 3 ) ( 1+2x ) 7 3 ( 1+2x ) =( 16 9 ) ( 1+2x ) 7 3   f ( 0 )= 16 9  

f ( x )=( 16 9 )( 7 3 ) ( 1+2x ) 10 3 ( 1+2x ) =( 224 27 ) ( 1+2x ) 10 3   f ( 0 )= 224 27  

したがって,マクローリン展開の公式 

f( x )=f( 0 )+ f ' ( 0 )x+ f '' ( 0 ) 2! x 2 + f ''' ( 0 ) 3! x 3 ++ f ( n ) ( 0 ) n! x n +  

に代入して 

1 1+2x 3 =1+( 2 3 )x+ ( 16 9 ) 2! x 2 + ( 224 27 ) 3! x 3 +

=1 2 3 x+ 8 9 x 2 112 81 x 3 +

ホーム>>カテゴリー分類>>数列>>級数展開>>問題演習>>べき級数に展開する問題

学生スタッフ作成
最終更新日: 2022年6月5日