べき級数に展開する問題

■問題

次の関数をべき級数展開（マクローリン展開）をせよ．

$\frac{1}{\sqrt[3]{1 + 2 x}}$

■ヒント

${(1 + x)}^{α}$ のマクローリン展開の公式

${(1 + x)}^{α} = 1 + α x + \frac{α (α - 1)}{2!} x^{2} + \frac{α (α - 1) (α - 2)}{3!} x^{3} + \dots$

を用いる．

■答

$\frac{1}{\sqrt[3]{1 + 2 x}} = {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{3}}$

したがって， ${(1 + x)}^{α}$ のマクローリン展開の公式の $x$ を $2 x$ ， $α$ を $- \frac{1}{3}$ に置き換える．

$\frac{1}{\sqrt[3]{1 + 2 x}}$ $= 1 - \frac{1}{3} (2 x) + \frac{- \frac{1}{3} (- \frac{1}{3} - 1)}{2!} {(2 x)}^{2} + \frac{- \frac{1}{3} (- \frac{1}{3} - 1) (- \frac{1}{3} - 2)}{3!} {(2 x)}^{3} + \dots$

$= 1 - \frac{2}{3} x - \frac{1}{3} (- \frac{4}{3}) \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^{2} x^{2} + - \frac{1}{3} (- \frac{4}{3}) (- \frac{7}{3}) \cdot \frac{1}{6} \cdot 2^{3} x^{3} + \dots$

$= 1 - \frac{2}{3} x + \frac{8}{9} x^{2} - \frac{112}{81} x^{3} + \dots$

■別解

$f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{1 + 2 x}} = {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{3}}$ とおく． $f (0) = 1^{- \frac{1}{3}} = 1$

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = (- \frac{1}{3}) {(1 + 2 x)}^{- \frac{4}{3}} {(1 + 2 x)}^{'} \\ = (- \frac{1}{3}) {(1 + 2 x)}^{- \frac{4}{3}} \cdot 2 \\ = (- \frac{2}{3}) {(1 + 2 x)}^{- \frac{4}{3}} \end{array}$ $f^{'} (0) = - \frac{2}{3}$

$\begin{array}{l} f^{″} (x) = (- \frac{2}{3}) (- \frac{4}{3}) {(1 + 2 x)}^{- \frac{7}{3}} {(1 + 2 x)}^{'} \\ = (\frac{16}{9}) {(1 + 2 x)}^{- \frac{7}{3}} \end{array}$ $f^{″} (0) = \frac{16}{9}$

$\begin{array}{l} f^{‴} (x) = (\frac{16}{9}) (- \frac{7}{3}) {(1 + 2 x)}^{- \frac{10}{3}} {(1 + 2 x)}^{'} \\ = (- \frac{224}{27}) {(1 + 2 x)}^{- \frac{10}{3}} \end{array}$ $f^{‴} (0) = - \frac{224}{27}$

したがって，マクローリン展開の公式

$f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f^{''} (0)}{2!} x^{2} + \frac{f^{'''} (0)}{3!} x^{3} + \dots \dots + \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} + \dots \dots$

に代入して

$\frac{1}{\sqrt[3]{1 + 2 x}}$ $= 1 + (- \frac{2}{3}) x + \frac{(\frac{16}{9})}{2!} x^{2} + \frac{(- \frac{224}{27})}{3!} x^{3} + \dots$

$= 1 - \frac{2}{3} x + \frac{8}{9} x^{2} - \frac{112}{81} x^{3} + \dots$

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最終更新日： 2026年6月16日