べき級数に展開する問題

■問題

次の関数をべき級数展開（マクローリン展開）をせよ．

${\displaystyle {\tan }^{-1}x}$

■ヒント

${\displaystyle \frac{d}{dx}{\tan }^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}}$　    ⇒ここを参照

${\displaystyle \frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+x^8+\cdots }$     ⇒ここを参照

の関係を利用する．

■答

${\displaystyle \frac{d}{dx}{\tan }^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}}$

${\displaystyle =1-x^2+x^4-x^6+x^{{}^8}+\cdots }$

両辺を積分する

ただし，${\displaystyle C}$ は積分定数

${\displaystyle {\tan }^{-1}0=0}$

より

${\displaystyle C=0}$

となる．

よって

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2022年6月5日