べき級数に展開する問題

■問題

次の関数をべき級数展開（マクローリン展開）をせよ．

${\displaystyle xsin2x}$

■ヒント

${\displaystyle sinx}$ のマクローリン展開の公式

${\displaystyle sinx=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5-\frac{1}{7!}{x}^7}$${\displaystyle +\cdots }$

を用いる．

■答

${\displaystyle sinx}$ のマクローリン展開の公式の${\displaystyle x}$ に ${\displaystyle 2x}$ を代入して

${\displaystyle \sin 2x=\left(2x\right)-\frac{1}{3!}{\left(2x\right)}^3+\frac{1}{5!}{\left(2x\right)}^5}$${\displaystyle -\frac{1}{7!}{\left(2x\right)}^7}$${\displaystyle +\cdots }$

${\displaystyle =2x-\frac{2^3}{3!}{x}^3+\frac{2^5}{5!}{x}^5-\frac{2^7}{7!}{x}^7+\cdots }$

であるから，両辺に${\displaystyle x}$ をかけて

${\displaystyle xsin2x=2x^2-\frac{2^3}{3!}{x}^4+\frac{2^5}{5!}{x}^6-\frac{2^7}{7!}{x}^8}$${\displaystyle +\cdots }$

 

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2022年6月2日