三角関数の合成問題

■問題

次の関数を${\displaystyle r\sin (\theta +\alpha )}$ の形に表せ．ただし，${\displaystyle r>0}$，${\displaystyle -\pi <\theta <\pi }$ とする．

${\displaystyle \sin \theta -\cos \theta }$

■答

${\displaystyle \sqrt{2}\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)}$

■ヒント

三角関数の合成公式を参考にする．

■解き方

${\displaystyle r=\sqrt{1^2+{(-1)}^2}=\sqrt{2}}$

より

${\displaystyle \sin \theta -\cos \theta }$${\displaystyle =\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta -\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta \right)}$　･･････(1)

と式を変形する．

三角関数の合成公式より

${\displaystyle \sin \theta -\cos \theta =\sqrt{2}\sin \left(\theta +\alpha \right)}$　･･････(2)

の形に変形できる．(2)に加法定理を適用すると

${\displaystyle \sqrt{2}\sin \left(\theta +\alpha \right)}$${\displaystyle =\sqrt{2}\left(\sin \theta \cos \alpha +\cos \theta \sin \alpha \right)}$　･･････(3)

となる．

(1)と(3)を比較すると

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}{\displaystyle \cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}}\\ \sin \alpha ={\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}}\end{array}\right.}$

となる連立方程式が得られる．これを解くと

${\displaystyle \alpha =-\frac{\pi }{4}}$

となる．したがって

${\displaystyle \sin \theta -\cos \theta }$${\displaystyle =\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}\sin \theta -\sin \frac{\pi }{4}\cos \theta \right)}$ ${\displaystyle =\sqrt{2}\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)}$

となる．

●作図より求める方法

座標平面上に，${\displaystyle \sin }$の係数${\displaystyle 1}$を${\displaystyle x}$成分，${\displaystyle \cos }$の係数${\displaystyle -1}$を${\displaystyle y}$ 成分とする点${\displaystyle \text{P}}$ と原点${\displaystyle \text{O}}$ を結ぶ線分${\displaystyle \text{OP}}$ を描く．線分${\displaystyle \text{OP}}$の長さが${\displaystyle r}$ ， 線分${\displaystyle \text{OP}}$ と ${\displaystyle x}$軸となす角が角度${\displaystyle \alpha }$となる．

よって

${\displaystyle r=\sqrt{2}}$ ，${\displaystyle \alpha =-\frac{\pi }{4}}$

${\displaystyle \sin \theta -\cos \theta }$${\displaystyle =\sqrt{2}\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)}$

となる．

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年3月17日