三角関数の合成問題

■問題

次の関数を${\displaystyle r\sin (\theta +\alpha )}$ の形に表せ．ただし，${\displaystyle r>0}$，${\displaystyle -\pi <\theta <\pi }$ とする．

${\displaystyle \sqrt{6}\sin \theta +\sqrt{2}\cos \theta }$

■答

${\displaystyle 2\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)}$

■ヒント

三角関数の合成公式

${\displaystyle a\sin \theta +b\cos \theta }$ ${\displaystyle =\sqrt{a^2+b^2}\sin \left(\theta +\alpha \right)}$

を利用する．

■解答

${\displaystyle r=\sqrt{a^2+b^2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{{\sqrt{6}}^2+{\sqrt{2}}^2}}$ ${\displaystyle =2\sqrt{2}}$

より

${\displaystyle \sqrt{6}\sin \theta +\sqrt{2}\cos \theta }$${\displaystyle =2\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}\sin \theta +\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\cos \theta \right)}$${\displaystyle =2\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta +\frac{1}{2}\cos \theta \right)}$ 　･･････(1)

と式を変形する．

三角関数の合成公式より

${\displaystyle \sqrt{6}\sin \theta +\sqrt{2}\cos \theta }$${\displaystyle =2\sqrt{2}\sin \left(\theta +\alpha \right)}$ 　･･････(2)

の形に変形できる．(2)に加法定理を適用すると

${\displaystyle =2\sqrt{2}\sin \left(\theta +\alpha \right)}$ ${\displaystyle =2\sqrt{2}\left(\sin \theta \cos \alpha +\cos \theta \sin \alpha \right)}$　･･････(3)

となる．

(1)と(3)を比較すると

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\hfill \\ \sin \alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}\hfill \end{array}\right.}$

となる連立方程式が得られる．これを解くと

${\displaystyle \alpha =\frac{\pi }{6}}$

となる．したがって

${\displaystyle \sqrt{6}\sin \theta +\sqrt{2}\cos \theta }$${\displaystyle =2\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{6}\sin \theta +\sin \frac{\pi }{6}\cos \theta \right)}$ ${\displaystyle =2\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)}$

となる．

●作図より求める方法

座標平面上に，${\displaystyle \sin }$の係数${\displaystyle 1}$を${\displaystyle x}$成分，${\displaystyle \cos }$の係数${\displaystyle -1}$を${\displaystyle y}$ 成分とする点${\displaystyle \text{P}}$ と原点${\displaystyle \text{O}}$ を結ぶ線分${\displaystyle \text{OP}}$ を描く．線分${\displaystyle \text{OP}}$の長さが${\displaystyle r}$ ， 線分${\displaystyle \text{OP}}$ と ${\displaystyle x}$軸となす角が角度${\displaystyle \alpha }$となる．

よって

${\displaystyle r=2\sqrt{2}}$ ，${\displaystyle \alpha =\frac{\pi }{6}}$

${\displaystyle \sqrt{6}\sin \theta +\sqrt{2}\cos \theta }$${\displaystyle =2\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)}$

となる．

　

ホーム>>カテゴリー分類>>三角関数>>三角関数の問題>>三角関数の合成>>三角関数の合成問題（${\displaystyle \sqrt{6}\sin \theta +\sqrt{2}\cos \theta }$）

学生スタッフ作成

最終更新日： 2024年9月3日