三角関数の方程式に関する問題

■問 題

次の方程式を解け．ただし，${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$とする．

${\displaystyle sin\theta =\frac{1}{\sqrt{2}}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{4}\pi ,\frac{3}{4}\pi }$

■解説

単位円においての値は${\displaystyle y}$座標に相当する(ここを参照)．

まず，右図のように単位円を描く．このとき，原点を${\displaystyle \text{O}}$ とする．

${\displaystyle \sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}}$ より，${\displaystyle x}$軸と平行な直線である${\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{2}}}$を描く．

描いた直線と単位円との交点を${\displaystyle \text{P}}$ ，${\displaystyle \text{Q}}$ とし，原点${\displaystyle \text{O}}$ と直線で結ぶ．

${\displaystyle \text{P}}$ ，${\displaystyle \text{Q}}$ から${\displaystyle x}$軸に垂線を下ろし，それぞれの足を${\displaystyle \text{R}}$ ，${\displaystyle \text{S}}$ とし，直角三角形${\displaystyle \text{OPR}}$ ，三角形${\displaystyle \text{OQS}}$ の内角を求める．

直角三角形${\displaystyle \text{OPR}}$ において，${\displaystyle \text{OP}=1}$，${\displaystyle \text{PR}=\frac{1}{\sqrt{2}}}$より， 基本的な三角形 と照らし合わせると

${\displaystyle \angle \text{POR}={\theta }_1=\frac{1}{4}\pi }$

となる．

直角三角形${\displaystyle \text{OPR}}$ ${\displaystyle \equiv }$ 直角三角形${\displaystyle \text{OQS}}$

より

${\displaystyle \angle \text{QOS=}\angle \text{POR=}\frac{1}{4}\pi }$

よって，${\displaystyle {\theta }_1}$を算出すと

${\displaystyle {\theta }_2=\pi -\frac{1}{4}\pi =\frac{3}{4}\pi }$

となる．

　

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最終更新日： 2023年4月12日