加法定理の問題

■問題

加法定理を利用し，以下に示す式の値を求めよ．

${\displaystyle sin{15}^{°}}$

■答

${\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$ 　

■ヒント

${\displaystyle {15}^{°}={45}^{°}-{30}^{°}}$ と考えて 加法定理を使って計算する．

■解き方

加法定理を使って解くと

${\displaystyle sin{15}^{°}}$${\displaystyle =sin\left({45}^{°}-{30}^{°}\right)}$

${\displaystyle =sin{45}^{°}cos{30}^{°}-cos{45}^{°}sin{30}^{°}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{2}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$

●別解

半角の公式を使って解くと

${\displaystyle \sin 15°=\sin \frac{30°}{2}}$

より

${\displaystyle {\left(\sin \frac{30°}{2}\right)}^2}$${\displaystyle =\frac{1-\cos 30°}{2}}$

${\displaystyle =\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

${\displaystyle =\frac{2-\sqrt{3}}{4}}$

よって，${\displaystyle \sin 15°>0}$に注意すると

${\displaystyle \sin 15°}$${\displaystyle =\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}}$

2重根号を外すために以下のように計算を進める．2重根号のはずし方を参照

$\sqrt{3}$ のところが $2\sqrt{3}$ になるように， $\frac{2-\sqrt{3}}{4}$ の分母，分子に $2$ を掛ける

${\displaystyle =\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{8}}}$

${\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2=a+b-2\sqrt{ab}$ より， $a+b=4$ ， $ab=3$ ， $a>b$ となる $a$ ， $b$ を求めると， $a=3$ ， $b=1$ となる．よって

${\displaystyle =\sqrt{\frac{{\left(\sqrt{3}-\sqrt{1}\right)}^2}{8}}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{2\sqrt{2}}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$

　

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最終更新日： 2024年11月22日