三角関数の方程式に関する問題

■問 題

次の方程式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$ とする．

${\displaystyle sin\theta =-\frac{1}{2}}$

■答

${\displaystyle \theta =\frac{7}{6}\pi ,\frac{11}{6}\pi }$

■ヒント

$\sin \theta =c$ の解き方

■解説

${\displaystyle sin\theta }$ の値は単位円上の点の ${\displaystyle y}$ 座標に相当する．( ここ を参照)

まず，図のように単位円 を描く．このとき，原点を ${\displaystyle \text{O}}$ とする．

${\displaystyle x}$ 軸と平行な線である ${\displaystyle y=-\frac{1}{2}}$ を描く．

描いた線と 単位円 との交点を ${\displaystyle \text{P}}$ ， ${\displaystyle \text{Q}}$ とし，原点 ${\displaystyle \text{O}}$ と線で結ぶ．

${\displaystyle \text{P}}$ ， ${\displaystyle \text{Q}}$ から ${\displaystyle x}$ 軸に垂線を引き，それぞれの足を ${\displaystyle \text{R}}$ ， ${\displaystyle \text{S}}$ とし，直角三角形 ${\displaystyle \text{OPR}}$ ， ${\displaystyle \text{OQS}}$ の内角を求める．

${\displaystyle \text{OP}=1}$ ， ${\displaystyle \text{PR}=\frac{1}{2}}$ より，基本的な三角形と照らし合わせると

${\displaystyle \angle \text{POR}=\frac{1}{6}\pi }$

となる．よって

${\displaystyle {\theta }_1=\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{6}\pi =\frac{7}{6}\pi }$

同様に ${\displaystyle {\theta }_2}$ を算出すると

${\displaystyle {\theta }_2=2\pi -\frac{1}{6}\pi =\frac{11}{6}\pi }$

となる．

　

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最終更新日： 2025年2月12日