三角関数の方程式に関する問題

■問 題

次の方程式を解け．ただし，${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$とする．

${\displaystyle sin\theta =-\frac{1}{\sqrt{2}}}$

■答

${\displaystyle \theta =\frac{5}{4}\pi ,\frac{7}{4}\pi }$

■解説

${\displaystyle sin\theta }$の値は単位円上の点の${\displaystyle y}$座標に相等する(ここを参照)．

まず，右図のように単位円を描く．

このとき，原点を${\displaystyle \text{O}}$とする．${\displaystyle x}$軸と平行な線である${\displaystyle y=-\frac{1}{\sqrt{2}}}$を描く．

描いた線と 単位円 との交点を${\displaystyle \text{P}}$，${\displaystyle \text{Q}}$とし，原点${\displaystyle \text{O}}$と線で結ぶ．${\displaystyle \text{P}}$，${\displaystyle \text{Q}}$から${\displaystyle x}$軸に垂線を引き，それぞれの足を${\displaystyle \text{R}}$，${\displaystyle \text{S}}$とし，直角三角形${\displaystyle \text{OPR}}$，${\displaystyle \text{OQS}}$の内角を求める．

${\displaystyle \text{OP}=1}$，${\displaystyle \text{PR}=\frac{1}{\sqrt{2}}}$より，基本的な三角形と照らし合わせると

${\displaystyle \angle \text{POR}=\frac{1}{4}\pi }$

となる．よって

${\displaystyle {\theta }_1=\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{4}\pi =\frac{5}{4}\pi }$

同様に${\displaystyle {\theta }_2}$を算出すると

${\displaystyle {\theta }_2=2\pi -\frac{1}{4}\pi =\frac{7}{4}\pi }$

となる．

　

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最終更新日： 2023年4月12日