三角関数の方程式に関する問題)

■問 題

次の方程式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$ とする．

${\displaystyle \cos \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}}$

■答

${\displaystyle \theta =\frac{5}{6}\pi ,\frac{7}{6}\pi }$

■ヒント

$\cos \theta =c$ の解き方

■解説

${\displaystyle cos\theta }$ の値は単位円上の点の ${\displaystyle x}$ 座標に相当する(ここを参照)．

まず，図のように単位円を描く．このとき，原点を ${\displaystyle \text{O}}$ とする．

${\displaystyle y}$ 軸と平行な線である ${\displaystyle x=-\frac{\sqrt{3}}{2}}$ を描く．

描いた線と 単位円 との交点を ${\displaystyle \text{P}}$ ， ${\displaystyle \text{Q}}$ とし，原点 ${\displaystyle \text{O}}$ と線で結ぶ．

線分 ${\displaystyle \text{PQ}}$ と ${\displaystyle x}$ 軸の交点を ${\displaystyle \text{R}}$ とし，直角三角形 ${\displaystyle \text{OPR}}$ ， 直角三角形 ${\displaystyle \text{OQR}}$ の内角を求める．

${\displaystyle \text{OP}=1}$ ， ${\displaystyle \text{PR}=\frac{\sqrt{3}}{2}}$ より，基本的な三角形と照らし合わせると

${\displaystyle \angle \text{POR}=\frac{1}{6}\pi }$

となる．よって

${\displaystyle {\theta }_1=\pi -\frac{1}{6}\pi =\frac{5}{6}\pi }$

同様に ${\displaystyle {\theta }_2}$ を算出すると

${\displaystyle {\theta }_2=\pi +\frac{1}{6}\pi =\frac{7}{6}\pi }$

となる．

　

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最終更新日： 2025年2月12日