三角関数不等式の問題

■問題

次の不等式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <\frac{\pi }{2}}$ とする．

${\displaystyle 0<\tan 2\left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)<\sqrt{3}}$

■答

${\displaystyle \frac{\pi }{4}<\theta <\frac{5}{12}\pi }$

■解説

${\displaystyle 2\left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=t}$ ･･････(1)

とおくと

${\displaystyle 0\leqq \theta <\frac{\pi }{2}}$

${\displaystyle \frac{\pi }{4}\leqq \theta +\frac{\pi }{4}<\frac{3}{4}\pi }$

${\displaystyle \frac{\pi }{2}\leqq 2\left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)<\frac{3}{2}\pi }$

より

${\displaystyle \frac{\pi }{2}\leqq t<\frac{3}{2}\pi }$

となる．

問題を ${\displaystyle t}$ を使って書き直すと

まず， ${\displaystyle 0\leqq t<2\pi }$ の範囲で

$\tan t=0$ ， ${\displaystyle \tan t=\sqrt{3}}$

を満たす ${\displaystyle t}$ を求める．

${\displaystyle \tan \theta =0}$ の場合は

${\displaystyle t=0\text{,}\pi }$

${\displaystyle \tan t=\sqrt{3}}$ の場合は以下の問題を参考にする．

${\displaystyle t=\frac{1}{3}\pi ,\frac{4}{3}\pi }$

${\displaystyle \tan t}$ は単位円に引いた補助線 ${\displaystyle x=1}$ の直線上の点の ${\displaystyle y}$ 成分に相当することを考慮して， ${\displaystyle t}$ を用いて書き直した不等式 ${\displaystyle 0<\tan t<\sqrt{3}}$ を満たす単位円上の円弧の範囲を赤線で示す．

${\displaystyle \frac{\pi }{2}\leqq t<\frac{3}{2}\pi }$ と赤色の円弧の部分が重なっている部分が ${\displaystyle t}$ を用いて書き直した問題の答えとなる．その答えは

${\displaystyle \pi <t<\frac{4}{3}\pi }$ ･･････(2)

となる．(1)の関係から(2)を ${\displaystyle \theta }$ の範囲に書き換えると

${\displaystyle \pi <2\left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)<\frac{4}{3}\pi }$

${\displaystyle \frac{1}{2}\pi <\theta <\frac{2}{3}\pi }$

${\displaystyle \frac{1}{2}\pi -\frac{\pi }{4}<\theta <\frac{2}{3}\pi -\frac{\pi }{4}}$

${\displaystyle \frac{\pi }{4}<\theta <\frac{5}{12}\pi }$

となる．

　

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最終更新日： 2025年4月11日