三角関数不等式の問題

■問題

次の不等式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <\frac{\pi }{2}}$ とする．

${\displaystyle 0<\tan 2\left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)<\sqrt{3}}$

■答

${\displaystyle \frac{\pi }{4}<\theta <\frac{5}{12}\pi }$

■解説

${\displaystyle 2\left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=t}$　･･････(1)

とおくと

${\displaystyle 0\leqq \theta <\frac{\pi }{2}}$

${\displaystyle \frac{\pi }{4}\leqq \theta +\frac{\pi }{4}<\frac{3}{2}\pi }$

${\displaystyle \frac{\pi }{2}\leqq 2\left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)<\frac{3}{2}\pi }$

より

${\displaystyle \frac{\pi }{2}\leqq t<\frac{3}{2}\pi }$

となる．

問題を${\displaystyle t}$ を使って書き直すと

まず，${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$の範囲で

$\tan t=0$，${\displaystyle \tan t=\sqrt{3}}$

を満たす${\displaystyle t}$ を求める．

${\displaystyle \tan \theta =0}$の場合は

${\displaystyle t=0\text{,}\pi }$

${\displaystyle \tan t=\sqrt{3}}$の場合は以下の問題を参考にする．

${\displaystyle t=\frac{1}{3}\pi ,\frac{4}{3}\pi }$

${\displaystyle \tan t}$ は単位円に引いた補助線${\displaystyle x=1}$ の直線上の点の ${\displaystyle y}$ 成分に相当することを考慮して，${\displaystyle t}$ を用いて書き直した問題の不等式を満たす単位円上の円弧の範囲を赤線で示す．

${\displaystyle \frac{\pi }{2}\leqq t<\frac{3}{2}\pi }$と赤色の円弧の部分が重なっている部分が${\displaystyle t}$ を用いて書き直した問題の答えとなる．その答えは

${\displaystyle \pi <t<\frac{4}{3}\pi }$ 　･･････(2)

となる．(1)の関係から(2)を${\displaystyle \theta }$ の範囲に書き換えると

${\displaystyle \frac{\pi }{4}<\theta <\frac{5}{12}\pi }$

となる．

　

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最終更新日： 2023年4月17日