三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$とする．

${\displaystyle \cos \theta =-\frac{1}{2}}$

■答

${\displaystyle \frac{3}{4}\pi ,\frac{5}{4}\pi }$

■解説

${\displaystyle \cos \theta }$の値は単位円上の点の${\displaystyle x}$座標に相当する．(ここ を参照)

まず，図のように単位円を描く．このとき，原点を${\displaystyle \text{O}}$ とする．

${\displaystyle y}$軸と平行な線である${\displaystyle x=-\frac{1}{2}}$を描く．

描いた線と単位円との交点をそれぞれ${\displaystyle \text{P}}$ ，${\displaystyle \text{Q}}$ とし，原点${\displaystyle \text{O}}$ と線で結ぶ．

${\displaystyle \text{P}}$ ，${\displaystyle \text{Q}}$ から${\displaystyle y}$軸に垂線を下ろし，それぞれの足を${\displaystyle \text{R}}$ ，${\displaystyle \text{S}}$ とし，直角三角形${\displaystyle \text{OPR}}$ ，直角三角形${\displaystyle \text{OQS}}$ の内角を求める．

直角三角形${\displaystyle \text{OPR}}$において

${\displaystyle \text{OP}=1}$  ，${\displaystyle \text{PR}=\frac{1}{2}}$

より，基本的な三角形と照らし合わせると

${\displaystyle \angle \text{POR}=\frac{1}{6}\pi }$

よって

${\displaystyle {\theta }_1=\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{6}\pi =\frac{2}{3}\pi }$

となる．

${\displaystyle △\text{OPR}\equiv △\text{OQR}}$より

${\displaystyle \angle \text{QOS}=\frac{1}{6}\pi }$

よって

${\displaystyle {\theta }_2=\frac{3}{2}\pi -\frac{1}{6}\pi =\frac{3}{3}\pi }$

となる.

　

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最終更新日： 2023年4月11日