三角関数の方程式に関する問題

■問 題

次の方程式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta \leqq 2\pi }$とする．

${\displaystyle 2\sin \left(2\theta +\frac{1}{6}\pi \right)=-1}$

■答

${\displaystyle \theta =\frac{1}{2}\pi ，\frac{5}{6}\pi ，\frac{3}{2}\pi ，\frac{11}{6}\pi }$

■ヒント

${\displaystyle 2\theta +\frac{1}{6}\pi =t}$

と変数${\displaystyle \theta }$ を変数${\displaystyle t}$に 置き換えて計算を行う．

■解説

${\displaystyle 2\theta +\frac{1}{6}\pi =t}$ 　･･････(1)

と置く．与式は

${\displaystyle 2\sin t=-1}$

${\displaystyle \sin t=-\frac{1}{2}}$　･･････(2)

となる．

(2)の変数${\displaystyle t}$ の範囲を(1)の関係より求める．

${\displaystyle 0\leqq \theta \leqq 2\pi }$

${\displaystyle 0\leqq 2\theta \leqq 4\pi }$

${\displaystyle \frac{1}{6}\pi \leqq 2\theta +\frac{1}{6}\pi \leqq 4\pi +\frac{1}{6}\pi }$

${\displaystyle \frac{1}{6}\pi \leqq t\leqq \frac{25}{6}\pi }$　･･････(3)

(3)の範囲で(2)を解く．

以下の問題を参考にする.

${\displaystyle t}$ は

${\displaystyle t=\frac{7}{6}\pi ，\frac{11}{6}\pi ，\left(\frac{7}{6}\pi +2\pi \right)，\left(\frac{11}{6}\pi +2\pi \right)}$

${\displaystyle t=\frac{7}{6}\pi ，\frac{11}{6}\pi ，\frac{19}{6}\pi ，\frac{23}{6}\pi }$

(1)の関係を用いて，${\displaystyle t}$を${\displaystyle \theta }$ に戻す．

${\displaystyle 2\theta +\frac{1}{6}\pi =\frac{7}{6}\pi ，\frac{11}{6}\pi ，\frac{19}{6}\pi ，\frac{23}{6}\pi }$

${\displaystyle 2\theta =\pi ，\frac{5}{3}\pi ，3\pi ，\frac{11}{3}\pi }$

${\displaystyle \theta =\frac{1}{2}\pi ，\frac{5}{6}\pi ，\frac{3}{2}\pi ，\frac{11}{6}\pi }$

　

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最終更新日： 2023年4月8日