三角関数の方程式に関する問題

■問 題

次の方程式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <\pi }$ とする．

${\displaystyle 2\cos 3\theta =\sqrt{3}}$

■答

${\displaystyle \theta =\frac{1}{18}\pi ,\frac{11}{18}\pi ,\frac{13}{18}\pi }$

■ヒント

${\displaystyle 3\theta }$ を ${\displaystyle t}$ と置き換えて計算を行う．

$\cos \theta =c$ の解き方

■解説

${\displaystyle 3\theta =t}$ ･･････(1)

置くと，与式は

${\displaystyle 2\cos t=\sqrt{3}}$

${\displaystyle \cos t=\frac{\sqrt{3}}{2}}$ ･･････(2)

となる．

(1)より， ${\displaystyle t}$ の範囲を求める．

${\displaystyle 0\leqq 3\theta <3\pi }$

${\displaystyle 0\leqq t<3\pi }$

${\displaystyle t}$ の範囲で(2)を解く．

以下の問題を参考にする.

${\displaystyle t}$ は

${\displaystyle t=\frac{1}{6}\pi ,\frac{11}{6}\pi ,\frac{1}{6}\pi +2\pi }$

${\displaystyle t=\frac{1}{6}\pi ,\frac{11}{6}\pi ,\frac{13}{6}\pi }$

${\displaystyle t}$ を ${\displaystyle \theta }$ に戻す．

${\displaystyle 3\theta =\frac{1}{6}\pi ,\frac{11}{6}\pi ,\frac{13}{6}\pi }$

${\displaystyle \theta =\frac{1}{18}\pi ,\frac{11}{18}\pi ,\frac{13}{18}\pi }$

　

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最終更新日： 2025年3月1日