三角関数の方程式に関する問題

■問 題

次の方程式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$ とする．

${\displaystyle \cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle \theta =\frac{1}{6}\pi ,\frac{11}{6}\pi }$

■ヒント

$\cos \theta =c$ の解き方

■解説

${\displaystyle \cos \theta }$ の値は単位円上の点の ${\displaystyle x}$ 座標に相当する(ここを参照)．

まず，図のように単位円を描く．このとき，原点を ${\displaystyle \text{O}}$ とする． ${\displaystyle y}$ 軸と平行な線である ${\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{2}}$ を描く．

描いた線と単位円との交点を ${\displaystyle \text{P}}$ ， ${\displaystyle \text{Q}}$ とし，原点 ${\displaystyle \text{O}}$ と線で結ぶ． 線分 ${\displaystyle \text{PQ}}$ と ${\displaystyle x}$ 軸の交点を ${\displaystyle \text{R}}$ とし，直角三角形 ${\displaystyle \text{OPR}}$ ， 直角三角形 ${\displaystyle \text{OQR}}$ の内角を求める．

${\displaystyle \text{OP}=1}$ ， ${\displaystyle \text{PR}=\frac{\sqrt{3}}{2}}$ より，基本的な三角形と照らし合わせると

${\displaystyle \angle \text{POR}=\frac{1}{6}\pi }$

となる．よって

${\displaystyle {\theta }_1=\frac{1}{6}\pi }$

${\displaystyle {\theta }_2}$ を算出する.

${\displaystyle \angle \text{POR}=\angle \text{QOR}=\frac{1}{6}\pi }$

より

${\displaystyle {\theta }_2=2\pi -\frac{1}{6}\pi =\frac{11}{6}\pi }$

となる．

■グラフ

　

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最終更新日：2025年10月8日