三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式の最大値と最小値を求めよ．ただし，${\displaystyle 0\leqq \theta \leqq 2\pi }$とする．

${\displaystyle y={sin}^2\theta -2cos\theta +1}$

■答

${\displaystyle \theta =2\pi }$のとき最大値 ${\displaystyle 3}$

${\displaystyle \theta =0}$のとき最小値 ${\displaystyle -1}$

■ヒント

公式 ${\displaystyle {sin}^2\theta +{cos}^2\theta =1}$ を利用して， ${\displaystyle cos\theta }$ に統一する．

${\displaystyle cos\theta }$

を${\displaystyle t}$ と置き換えて計算を行う．

■解説

${\displaystyle {sin}^2\theta +{cos}^2\theta =1}$より

${\displaystyle {\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta }$ ･･････(1)

与式に(1)を代入すると

${\displaystyle y=\left(1-{cos}^2\theta \right)-2cos\theta +1}$

${\displaystyle y=-{cos}^2\theta -2cos\theta +2}$ ･･････(2)

となる．${\displaystyle \cos \theta =t}$ とおいて，(2)に代入する．

${\displaystyle y=-t^2-2t+2}$ ･･････(3)

(3)の2次関数を平方完成する．

${\displaystyle y=-(t^2+2t)+2}$

${\displaystyle y=-{\left(t+1\right)}^2+3}$

${\displaystyle t}$ の範囲を求める．

${\displaystyle 0\leqq \theta \leqq 2\pi }$

${\displaystyle -1\leqq \cos \theta \leqq 1}$

${\displaystyle -1\leqq t\leqq 1}$ ･･････(4)

図より，${\displaystyle y=-{\left(t+1\right)}^2+3}$は

${\displaystyle t=-1}$のとき最大値 ${\displaystyle 3}$

${\displaystyle t=1}$のとき最小値 ${\displaystyle -1}$

をとる．

$t$ に対応する${\displaystyle \theta }$ を求める．

${\displaystyle cos\theta =-1}$ ⇒ ${\displaystyle \theta =2\pi }$

${\displaystyle cos\theta =1}$ ⇒ ${\displaystyle \theta =0}$

以上より，${\displaystyle y={sin}^2\theta -2cos\theta +1}$は

${\displaystyle \theta =2\pi }$のとき最大値 ${\displaystyle 3}$

${\displaystyle \theta =0}$のとき最小値 ${\displaystyle -1}$

　

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最終更新日： 2023年4月12日