不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{4-9x^2}}dx}$ 　　

■答

${\displaystyle {\displaystyle {\frac{1}{3}sin}^{-1}\frac{3x}{2}+C}}$　　(C は積分定数)

■ヒント

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx={sin}^{-1}\frac{x}{a}+C}}$　　ここを参照

${\displaystyle \int f\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)+C}$　　ここを参照

の2つの公式を組み合わせて用いる．

■解説

${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{4-9x^2}}dx}$ 　 　

この問題では，公式の ${\displaystyle x}$は ${\displaystyle 3x}$，${\displaystyle a}$は 2 より，これを公式にあてはめると

${\displaystyle =\int \frac{1}{\sqrt{2^2-{\left(3x\right)}^2}}dx}$

${\displaystyle 4=2^2}$, ${\displaystyle 9x^2={\left(3x\right)}^2}$，${\displaystyle {\displaystyle \int f\left(3x\right)dx}=\frac{1}{3}F\left(3x\right)+C}$

${\displaystyle {\displaystyle ={\frac{1}{3}sin}^{-1}\frac{3x}{2}+\mathrm{C }}}$ 　

■確認問題

求まった答え${\displaystyle {\displaystyle {\frac{1}{3}sin}^{-1}\frac{3x}{2}+C}}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4-9x^2}}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2024年6月16日